Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja . Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como as soluções estão relacionadas aos termos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os expoentes dos termos exponenciais na solução geral. Aqui, temos e . Esses expoentes correspondem às raízes da equação característica associada à equação diferencial que queremos encontrar.

Passo 3

A equação característica para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:
onde são as raízes. Sabemos que as soluções são e .

Passo 4

Agora, vamos montar a equação característica usando essas raízes. Sabemos que se e são as raízes, então a equação característica pode ser escrita como:
Substituindo as raízes:

Passo 5

Vamos expandir essa expressão para obter a forma padrão da equação característica:
Simplificando:

Passo 6

Agora, traduzimos a equação característica de volta para a equação diferencial. A relação é:
corresponde a:
Comparando com a nossa equação característica:

Resposta

A equação diferencial que tem como solução geral é:

Exercícios relacionados

Calcule quando
Use a regra da substituição para calcular:
a)
Calcule as seguintes integrais:
c)