Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja
. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como as soluções estão relacionadas aos termos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os expoentes dos termos exponenciais na solução geral. Aqui, temos
e
. Esses expoentes correspondem às raízes da equação característica associada à equação diferencial que queremos encontrar.
Passo 3
A equação característica para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:
onde
são as raízes. Sabemos que as soluções são
e
.
Passo 4
Agora, vamos montar a equação característica usando essas raízes. Sabemos que se
e
são as raízes, então a equação característica pode ser escrita como:
Substituindo as raízes:
Passo 5
Vamos expandir essa expressão para obter a forma padrão da equação característica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, traduzimos a equação característica de volta para a equação diferencial. A relação é:
corresponde a:
Comparando com a nossa equação característica:
Resposta
A equação diferencial que tem
como solução geral é:
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Calcule
quando
Use a regra da substituição para calcular:
a)
a)
Calcule as seguintes integrais:
c)
c)