Use a regra da substituição para calcular:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida usando a regra da substituição. O enunciado pede para calcular
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais que podem ser simplificadas usando uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para a função
, percebemos que a parte
está no denominador e com um expoente. Vamos chamar essa parte de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Isso significa que:
Ou seja:
Passo 4
Vamos também mudar os limites de integração para termos tudo em termos de
. Quando
:
E quando
:
Então, a nova integral em termos de
vai de
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Podemos simplificar isso para:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que:
Então, aplicando isso:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Vamos simplificar dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Calcule as seguintes integrais:
c)
c)
Encontre uma primitiva para as funções:
c) .
c)