Use a regra da substituição para calcular:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando a regra da substituição. O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais que podem ser simplificadas usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para a função , percebemos que a parte está no denominador e com um expoente. Vamos chamar essa parte de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é :
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração para termos tudo em termos de . Quando :
E quando :
Então, a nova integral em termos de vai de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
Podemos simplificar isso para:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Então, aplicando isso:

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Substituindo na expressão:

Passo 8

Vamos simplificar dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é .
Calcule as seguintes integrais:
c)
Encontre uma primitiva para as funções:
c) .