Use a regra da substituição para calcular:
a) integral1^2 1(3-5 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando a regra da substituição. O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais que podem ser simplificadas usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para a função u = 3 - 5x , percebemos que a parte está no denominador e com um expoente. Vamos chamar essa parte de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -5 em relação a du = -5 , dx , que é dx = du-5 :
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração para termos tudo em termos de u = 3 - 5(1) = 3 - 5 = -2 . Quando u = 3 - 5(2) = 3 - 10 = -7 :
E quando :
Então, a nova integral em termos de vai de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral1^2 1(3-5x)^2 , dx = integral-2^-7 1u^2 cdot du-5
Podemos simplificar isso para:
-15 integral-2^-7 1u^2 , du

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral 1u^2 , du = -1u + C . Sabemos que:
-15 [ -1u ]-2^-7
Então, aplicando isso:

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para -1-7 = 17 :
-1-2 = 12
Para -15 ( 17 - 12 ) :
Substituindo na expressão:

Passo 8

Vamos simplificar dentro dos parênteses:
17 - 12 = 2 - 714 = -514
Então:
-15 cdot -514 = 570 = 114

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados