Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, são dadas as condições iniciais:
Para resolver essa equação, vamos usar técnicas de equações diferenciais ordinárias, como substituição e redução da ordem da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever a equação dada como:
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir
, o que implica que
.
Substituindo na equação, ficamos com:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
e
:
Podemos reorganizar essa equação para separar as variáveis
e
:
Isso nos permite escrever a equação de forma que possamos integrar ambos os lados.
Passo 4
Vamos separar as variáveis para integrar:
Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo:
Para integrar, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar a constante
.
Sabemos que quando
,
. Substituindo na equação:
Aqui percebemos que
não está definido, o que sugere que nossa solução geral precisa considerar um caso especial onde
.
Passo 8
Observando a equação original:
Podemos verificar se
é uma solução possível. Substituindo:
Isso confirma que
é uma solução válida.
Passo 9
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Integrando, obtemos:
Aplicando a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule
quando
Encontre uma primitiva para as funções:
b) .
b)
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Use a regra da substituição para calcular:
a)
a)