Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, são dadas as condições iniciais:
Para resolver essa equação, vamos usar técnicas de equações diferenciais ordinárias, como substituição e redução da ordem da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever a equação dada como:
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir , o que implica que .
Substituindo na equação, ficamos com:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e :
Podemos reorganizar essa equação para separar as variáveis e :
Isso nos permite escrever a equação de forma que possamos integrar ambos os lados.

Passo 4

Vamos separar as variáveis para integrar:
Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo:
Para integrar, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de , e .
Para :
Para :
Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, podemos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar a constante .
Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Aqui percebemos que não está definido, o que sugere que nossa solução geral precisa considerar um caso especial onde .

Passo 8

Observando a equação original:
Podemos verificar se é uma solução possível. Substituindo:
Isso confirma que é uma solução válida.

Passo 9

Portanto, a solução da equação diferencial é:
Integrando, obtemos:
Aplicando a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule quando
Encontre uma primitiva para as funções:
b) .
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é .
Use a regra da substituição para calcular:
a)