Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é . Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar entender como essas soluções gerais se relacionam com a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma , onde e são as raízes da equação característica associada.

Passo 3

No nosso caso, a solução geral é . Isso significa que as raízes da equação característica são e .

Passo 4

A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma . Sabendo as raízes e , podemos construir a equação característica usando .

Passo 5

Substituindo os valores das raízes:
Multiplicando os termos:

Passo 6

Agora, relacionamos a equação característica com a equação diferencial. A forma geral da equação diferencial é:
Comparando com a equação característica, temos e .

Passo 7

Portanto, a equação diferencial que corresponde à solução geral dada é:

Resposta

A equação diferencial é .

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