Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é
. Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar entender como essas soluções gerais se relacionam com a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma
, onde
e
são as raízes da equação característica associada.
Passo 3
No nosso caso, a solução geral é
. Isso significa que as raízes da equação característica são
e
.
Passo 4
A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma
. Sabendo as raízes
e
, podemos construir a equação característica usando
.
Passo 5
Substituindo os valores das raízes:
Multiplicando os termos:
Passo 6
Agora, relacionamos a equação característica
com a equação diferencial. A forma geral da equação diferencial é:
Comparando com a equação característica, temos
e
.
Passo 7
Portanto, a equação diferencial que corresponde à solução geral dada é:
Resposta
A equação diferencial é
.
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