Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t). (d) , 4 y^prime doub<=+12 y^prime+9 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
4 y'' + 12 y' + 9 y = 0
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e é a função que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo 4 r^2 + 12 r + 9 = 0 por , por e por 1:

Passo 4

Resolvendo a equação característica para encontrar as raízes De:
r = -b2a = -122 cdot 4 = -32
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:

Passo 5

Com a raiz dupla y(t) = (C1 + C2 t) e^-32 t , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 = C1 = 1 :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos derivar y'(t) = C2 e^-32 t + (1 + C2 t) (-32) e^-32 t para aplicar a segunda condição inicial y'(0) = C2 - 32 cdot 1 = -4 :
C2 - 32 = -4
Simplificando em C2 = -4 + 32 = -52 :

Passo 8

Substituindo y(t) = (1 - 52 t) e^-32 t e na solução geral, temos:

Passo 9

Agora, vamos determinar os limites da solução quando e^-32 t tende a e^-32 t = e^32 |t| e .
  • Para :
    tende a 0 porque a base exponencial com expoente negativo vai para zero.
    Portanto, .
  • Para :
    tende a porque o expoente fica positivo e grande.
    A expressão tende a (já que é negativo grande, o termo fica positivo grande).
    Portanto, .

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = (1 - 52 t) e^-32 t
E os limites são:
limt to -infty y(t) = +infty
limt to +infty y(t) = 0

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