Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (d) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e é a função que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , por e por 1:

Passo 4

Resolvendo a equação característica para encontrar as raízes :
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:

Passo 5

Com a raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição inicial :
Simplificando em :

Passo 8

Substituindo e na solução geral, temos:

Passo 9

Agora, vamos determinar os limites da solução quando tende a e .
  • Para :
    tende a 0 porque a base exponencial com expoente negativo vai para zero.
    Portanto, .
  • Para :
    tende a porque o expoente fica positivo e grande.
    A expressão tende a (já que é negativo grande, o termo fica positivo grande).
    Portanto, .

Resposta

A solução do problema é:
E os limites são:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais: (i)
Resolva as seguintes equações diferenciais: (f)
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (b) ,