Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (d) ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
,
é a primeira derivada, e
é a função que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 4
Resolvendo a equação característica para encontrar as raízes
:
Como o discriminante
é zero, temos raízes reais e iguais:
Passo 5
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
para aplicar a segunda condição inicial
:
Simplificando em
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Passo 9
Agora, vamos determinar os limites da solução quando
tende a
e
.
-
Para
: tende a 0 porque a base exponencial com expoente negativo vai para zero. Portanto,. -
Para
: tende a porque o expoente fica positivo e grande. A expressãotende a (já que é negativo grande, o termo fica positivo grande).
Portanto,.
Resposta
A solução do problema é:
E os limites são:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais: (i)
Resolva as seguintes equações diferenciais: (f)
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (b) ,