Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde C é a fronteira da regição delimitada pelas parábolas
e
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem uma integral sobre a curva
, que é a fronteira da região limitada pelas parábolas
e
. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos relacionados a integral de linha com a integral dupla sobre a região. Vamos precisar entender como transformar essa integral de contorno em uma integral dupla para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva
bem comportada que delimita uma região
, temos:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é calcular a integral dupla do termo
sobre a região
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituindo no Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
delimitada pelas parábolas
e
.
Passo 5
Para achar a área, vamos primeiro encontrar os pontos de interseção das parábolas
e
. Igualando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, vamos integrar a área entre as curvas de
a
. Para isso, precisamos expressar ambas as curvas em função de
:
A área
é dada por:
Passo 7
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
A integral de linha é igual a
.