Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(y+e^x) d x+(2 x+cos (y^2)) d y, onde C é a fronteira da regição delimitada pelas parábolas y=x^2 e x=y^2 Resposta: 1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem uma integral sobre a curva , que é a fronteira da região limitada pelas parábolas e . Para aplicar o Teorema de Green, precisamos relacionados a integral de linha com a integral dupla sobre a região. Vamos precisar entender como transformar essa integral de contorno em uma integral dupla para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA bem comportada que delimita uma região , temos:
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla do termo sobre a região .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x + cos(y^2)) = 2
partial Ppartial y = partialpartial y (y + e^x) = 1
Agora, substituindo no Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 1 = 1

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 1 , dA
Isso significa que precisamos calcular a área da região delimitada pelas parábolas e .

Passo 5

Para achar a área, vamos primeiro encontrar os pontos de interseção das parábolas y = x^2 x = y^2 e x = (x^2)^2 x = x^4 . Igualando as duas equações:
x(x^3 - 1) = 0 x = 0 ou x^3 = 1 Rightarrow x = 1
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, vamos integrar a área entre as curvas de y = x^2 e y = raizx a A = integral0^1 (raizx - x^2) , dx . Para isso, precisamos expressar ambas as curvas em função de :
A área é dada por:

Passo 7

Calculando a integral:
A = integral0^1 x^1/2 , dx - integral0^1 x^2 , dx = [ 23 x^3/2 ]0^1 - [ 13 x^3 ]0^1
Substituindo os limites:
A = ( 23 cdot 1^3/2 - 0 ) - ( 13 cdot 1^3 - 0 ) = 23 - 13 = 13

Resposta

A integral de linha é igual a .

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