Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
f.
,
f.
Passo 1
Beleza, galera! A gente precisa encontrar uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e encontrar uma equação que, ao resolver, dê exatamente essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma
, onde
é uma raiz dupla da equação característica. Aqui, nossa solução tem
.
Passo 3
A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem é
. Como temos uma raiz dupla
, a equação fica
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, sabemos que a equação diferencial correspondente é
. Isso porque substituímos
e
na forma geral
.
Resposta
A equação diferencial de segunda ordem desejada é:
Exercícios relacionados
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
c. ,
c.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g.
g.
Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
a.
a.
Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
i.
i.