Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
f. y(x) = (c1 + c2 x) e^(-2 x),

Passo 1

Beleza, galera! A gente precisa encontrar uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e encontrar uma equação que, ao resolver, dê exatamente essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma , onde é uma raiz dupla da equação característica. Aqui, nossa solução tem .

Passo 3

A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem é . Como temos uma raiz dupla , a equação fica , ou seja, .

Passo 4

Agora, sabemos que a equação diferencial correspondente é . Isso porque substituímos e na forma geral .

Resposta

A equação diferencial de segunda ordem desejada é:

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