Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
i.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar o Wronskiano do conjunto de funções . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais e, especificamente, ao teste de independência linear entre funções. Para resolver, vamos precisar conhecer o que é o Wronskiano e como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é dado pelo determinante da matriz formada por essas funções e suas derivadas:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do domínio, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções que temos:
Para , a derivada é direta:
Para , usamos a regra da derivada de logaritmo:
Vamos simplificar:
Então, .
Passo 4
Agora que temos , , e , vamos montar o Wronskiano: