Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
g.
.
g.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Equações Diferenciais de Segunda Ordem. A gente precisa encontrar qual equação diferencial tem como solução geral a função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e montar a equação que a função dada satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a solução geral que temos:
. Aqui,
e
são constantes que podem variar. Nosso objetivo é achar uma equação diferencial que, ao resolver, nos dê exatamente essa forma de
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de uma constante
é zero, e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. A derivada de
é
. Portanto:
Passo 5
Sabemos que em uma equação diferencial linear de segunda ordem, geralmente temos a forma:
Vamos substituir
,
e
na equação:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer
e
, os coeficientes devem ser zero:
Passo 6
Da segunda equação, já sabemos que
. Substituindo isso na primeira equação:
Podemos escolher
(para simplificar), então
.
Resposta
A equação diferencial de segunda ordem que tem
como solução geral é: