Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
g. y(x) = c1 + c2 * e^(-2 * x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Equações Diferenciais de Segunda Ordem. A gente precisa encontrar qual equação diferencial tem como solução geral a função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e montar a equação que a função dada satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a solução geral que temos: . Aqui, e são constantes que podem variar. Nosso objetivo é achar uma equação diferencial que, ao resolver, nos dê exatamente essa forma de .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . A derivada de uma constante é zero, e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . A derivada de é . Portanto:

Passo 5

Sabemos que em uma equação diferencial linear de segunda ordem, geralmente temos a forma:
Vamos substituir , e na equação:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer e , os coeficientes devem ser zero:

Passo 6

Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo isso na primeira equação:
Podemos escolher (para simplificar), então .

Resposta

A equação diferencial de segunda ordem que tem como solução geral é:

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