Esbogar o gráfico e obter uma equação da parábola de modo que o foco seja (4 -1) e tendo a reta diretriz d: x+2=0.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico e encontrar a equação da parábola que tem o foco em (4, -1) e a reta diretriz dada por . Então, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é e a diretriz é a reta , que podemos reescrever como .

Passo 3

Vamos considerar um ponto qualquer raiz(x - 4)^2 + (y + 1)^2 na parábola. A distância desse ponto até o foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

A distância desse ponto |x + 2| até a diretriz é a distância horizontal entre e , que é:

Passo 5

Como o ponto está na parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, temos a equação:
raiz(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = |x + 2|

Passo 6

Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = (x + 2)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = x^2 + 4x + 4

Passo 8

Simplificando a equação, cancelamos -8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 4x + 4 de ambos os lados:

Passo 9

Vamos reorganizar os termos para isolar os termos com y^2 + 2y = 12x - 13 de um lado:

Passo 10

Para finalizar, podemos deixar a equação na forma padrão da parábola:
y^2 + 2y = 12x - 13

Resposta

A equação da parábola é .

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