Esbogar o gráfico e obter uma equação da parábola de modo que o foco seja
e tendo a reta diretriz
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico e encontrar a equação da parábola que tem o foco em (4, -1) e a reta diretriz dada por
. Então, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é
e a diretriz é a reta
, que podemos reescrever como
.
Passo 3
Vamos considerar um ponto qualquer
na parábola. A distância desse ponto até o foco
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
A distância desse ponto
até a diretriz
é a distância horizontal entre
e
, que é:
Passo 5
Como o ponto está na parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, temos a equação:
Passo 6
Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 8
Simplificando a equação, cancelamos
de ambos os lados:
Passo 9
Vamos reorganizar os termos para isolar os termos com
de um lado:
Passo 10
Para finalizar, podemos deixar a equação na forma padrão da parábola:
Resposta
A equação da parábola é
.
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com coeficientes em
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.
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.
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