Esbogar o gráfico e obter uma equação da parábola de modo que o foco seja e tendo a reta diretriz .

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico e encontrar a equação da parábola que tem o foco em (4, -1) e a reta diretriz dada por . Então, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é e a diretriz é a reta , que podemos reescrever como .

Passo 3

Vamos considerar um ponto qualquer na parábola. A distância desse ponto até o foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

A distância desse ponto até a diretriz é a distância horizontal entre e , que é:

Passo 5

Como o ponto está na parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, temos a equação:

Passo 6

Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos:

Passo 8

Simplificando a equação, cancelamos de ambos os lados:

Passo 9

Vamos reorganizar os termos para isolar os termos com de um lado:

Passo 10

Para finalizar, podemos deixar a equação na forma padrão da parábola:

Resposta

A equação da parábola é .

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