Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se
então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a afirmação "Se
então
" é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com vetores e escalas. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores são multiplicados por escalas e o que isso implica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a igualdade
. Isso significa que quando multiplicamos o vetor
por
e por
, obtemos o mesmo resultado.
Agora, se a gente tentar simplificar isso, podemos subtrair
de ambos os lados:
Isso dá:
Para que essa equação seja verdadeira, ou
(o que levaria a
) Ou o vetor
é o vetor nulo
.
Aqui está o ponto chave: se
não é o vetor nulo, então a única maneira da equação ser verdadeira é se
. Mas se
for o vetor nulo, qualquer valor para
e
vai funcionar, mesmo que
e
sejam diferentes.
Passo 3
Então, para a afirmação ser sempre verdadeira, ela precisaria funcionar para qualquer vetor
. Mas vimos que quando
é o vetor nulo,
e
podem ser diferentes e ainda assim a equação
é válida.
Resposta
Falsa. Por exemplo, se
, então para qualquer
e
, teremos
, mesmo que
.