Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se
então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a afirmação "Se
então
" é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com vetores e escalas. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores são multiplicados por escalas e o que isso implica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a igualdade
. Isso significa que quando multiplicamos o vetor
por
e por
, obtemos o mesmo resultado.
Agora, se a gente tentar simplificar isso, podemos subtrair
de ambos os lados:
Isso dá:
Para que essa equação seja verdadeira, ou
(o que levaria a
) Ou o vetor
é o vetor nulo
.
Aqui está o ponto chave: se
não é o vetor nulo, então a única maneira da equação ser verdadeira é se
. Mas se
for o vetor nulo, qualquer valor para
e
vai funcionar, mesmo que
e
sejam diferentes.
Passo 3
Então, para a afirmação ser sempre verdadeira, ela precisaria funcionar para qualquer vetor
. Mas vimos que quando
é o vetor nulo,
e
podem ser diferentes e ainda assim a equação
é válida.
Resposta
Falsa. Por exemplo, se
, então para qualquer
e
, teremos
, mesmo que
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
for um vetor no plano, então os vetores
e
são ortogonais a
. Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a
.
Considere o sistema
Determine os valores de
e
.
Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole
, onde:
(a) ;
(a)
(MACK-SP) A solução da equação
é um complexo
de módulo:
c) 18
c) 18