Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a afirmação "Se então " é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com vetores e escalas. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores são multiplicados por escalas e o que isso implica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a igualdade . Isso significa que quando multiplicamos o vetor por e por , obtemos o mesmo resultado.
Agora, se a gente tentar simplificar isso, podemos subtrair de ambos os lados:
Isso dá:
Para que essa equação seja verdadeira, ou (o que levaria a ) Ou o vetor é o vetor nulo .
Aqui está o ponto chave: se não é o vetor nulo, então a única maneira da equação ser verdadeira é se . Mas se for o vetor nulo, qualquer valor para e vai funcionar, mesmo que e sejam diferentes.

Passo 3

Então, para a afirmação ser sempre verdadeira, ela precisaria funcionar para qualquer vetor . Mas vimos que quando é o vetor nulo, e podem ser diferentes e ainda assim a equação é válida.

Resposta

Falsa. Por exemplo, se , então para qualquer e , teremos , mesmo que .

Exercícios relacionados

Mostre que se for um vetor no plano, então os vetores e são ortogonais a . Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a .
Considere o sistema
Determine os valores de e .
Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole , onde:
(a) ;
(MACK-SP) A solução da equação
é um complexo de módulo:
c) 18