Resolva o seguinte PVI
y'(x) + 3y(x) = 1 + e^(-2x) ; y(0) = 6

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial:
y'(x) + 3y(x) = 1 + e^(-2x) ; y(0) = 6
Esse exercício pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, mais especificamente às equações lineares. Para resolver, vamos usar o fator integrante, uma técnica que facilita encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos e .

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante ( ), que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para dividindo todos os termos por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do PVI é:

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