Suponha que temos um material que decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente temos 50 mg e após 2 horas perde-se 10 % da massa inicial. Determine:
Uma expressão para a massa restante em um instante t.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um material que perde massa de forma que a taxa de perda é proporcional à quantidade que tem. Inicialmente, tem 50 mg e após 2 horas, perde 10% dessa massa, ou seja, restam 45 mg. O conteúdo que vamos usar é de decaimento exponencial, que é quando a quantidade diminui proporcionalmente ao que ainda tem. Para resolver isso, precisamos usar equações diferenciais básicas de decaimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que representa essa situação. Se a taxa de mudança da massa em relação ao tempo é proporcional a , podemos escrever:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separá-las e integrar. Primeiro, dividimos ambos os lados por :
Agora, integramos ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para . Aplicando a exponenciação nos dois lados da equação:
Podemos simplificar como uma nova constante , que representa a massa inicial:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar . Sabemos que inicialmente, em , mg:
Então, a equação fica:

Passo 6

Sabemos também que após 2 horas, a massa é 45 mg. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar :
Dividindo ambos os lados por 50:

Passo 7

Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:
Calculando :

Resposta

A expressão para a massa restante em um instante é:

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