Suponha que temos um material que decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente temos 50 mg e após 2 horas perde-se
da massa inicial. Determine:
Uma expressão para a massa restante em um instante
.
Uma expressão para a massa restante em um instante
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um material que perde massa de forma que a taxa de perda é proporcional à quantidade que tem. Inicialmente, tem 50 mg e após 2 horas, perde 10% dessa massa, ou seja, restam 45 mg. O conteúdo que vamos usar é de decaimento exponencial, que é quando a quantidade diminui proporcionalmente ao que ainda tem. Para resolver isso, precisamos usar equações diferenciais básicas de decaimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que representa essa situação. Se a taxa de mudança da massa
em relação ao tempo
é proporcional a
, podemos escrever:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separá-las e integrar. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Agora, integramos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
. Aplicando a exponenciação nos dois lados da equação:
Podemos simplificar
como uma nova constante
, que representa a massa inicial:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
. Sabemos que inicialmente, em
,
mg:
Então, a equação fica:
Passo 6
Sabemos também que após 2 horas, a massa é 45 mg. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por 50:
Passo 7
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:
Calculando
:
Resposta
A expressão para a massa restante em um instante
é: