Se A é a matriz na base canônica de T: R^3 R^3, dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z), julgue as afirmativas:
(a) a dimensão do núcleo de T é 2;
(b) (0,1,0),(1,0,-1) é uma base da Im(T);
© a transposta de A é A^t=(ccc0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 1 & 0 & -1);

Passo 1

Então, temos uma matriz que representa uma transformação linear definida por . Precisamos avaliar três afirmativas sobre o núcleo de , a imagem de e a transposta de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, base e matriz transposta.

Passo 2

Vamos começar avaliando a afirmativa (a): “A dimensão do núcleo de z = 0 x - y = 0 -z = 0 é 2”.
Núcleo de Núc<=o(T) = span(1, 1, 0) : O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero, ou seja, .
Vamos resolver o sistema:
Da primeira e terceira equações, temos . Da segunda equação, .
Portanto, o núcleo é composto por vetores da forma , onde é um número real.
Dimensão do Núcleo: A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Aqui, podemos expressar o núcleo como:
ú
Então, a dimensão do núcleo é 1, não 2.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmativa (b): " A = 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 e é uma base da imagem de ".
Imagem de : A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em .
Vamos encontrar uma base para a imagem de . A matriz de na base canônica é:
As colunas de são as imagens dos vetores da base canônica. Para encontrar a imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores linearmente independentes.
As colunas são , , e . Observamos que , então ela não adiciona nova informação.
Portanto, uma base para a imagem de é , que são linearmente independentes.

Passo 4

Por último, vamos avaliar a afirmativa ©: "A transposta de ccc0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 1 & 0 & -1 é A = 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ".
Matriz Transposta: A transposta de uma matriz A^t = 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 1 & 0 & -1 é obtida trocando suas linhas pelas colunas.
Dada a matriz :
A transposta será:
A afirmativa está correta.

Resposta

(a) Falsa. A dimensão do núcleo de ccc0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 1 & 0 & -1 é 1, não 2.
(b) Verdadeira. Os vetores e formam uma base da imagem de .
© Verdadeira. A transposta de é realmente .

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