Encontre a equação reduzida da parábola com reta focal paralela ao eixo que passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma parábola cuja reta focal é paralela ao eixo e que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre a parametrização de parábolas com eixo paralelo ao .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma parábola com eixo paralelo ao . A equação padrão nesse caso é:
Aqui, é o vértice da parábola e é a distância focal, que indica o quanto a parábola é “aberta”. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem essa equação para os três pontos fornecidos.

Passo 3

Vamos substituir cada um dos três pontos na equação padrão para criar um sistema de equações. Isso nos dará três equações com três incógnitas ( , e ).
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução. Vamos expandir os termos ao quadrado e reorganizar:



Passo 5

Vamos chamar essas equações de Equação (1), Equação (2) e Equação (3) respectivamente. Nosso próximo passo é resolver esse sistema para encontrar , e .
Vamos começar dividindo a Equação (1) pela Equação (2):
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, fazemos o mesmo com a Equação (2) e a Equação (3):
Simplificando, temos:

Passo 7

Agora, temos duas equações relacionando e . Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre e .
Da Equação obtida no Passo 5:
Podemos chamar essa de Equação A.
Da Equação obtida no Passo 6:
Podemos chamar essa de Equação B.

Passo 8

Vamos resolver a Equação A para em termos de :
Multiplicando em cruz:
Expandindo ambos os lados:
Distribuindo:
Simplificando e agrupando termos semelhantes:
Percebemos que está ficando complexo, então vamos tentar uma abordagem diferente para resolver o sistema.

Passo 9

Vamos assumir valores para que simplifiquem as equações. Observando os pontos pelos quais a parábola passa, podemos tentar valores que tornem as equações mais fáceis de resolver.
Após testar diferentes valores, descobrimos que simplifica as equações significativamente. Vamos verificar essa suposição.

Passo 10

Assumindo , vamos substituir esse valor nas Equações A e B.
Na Equação A:
Multiplicando em cruz:
Resolvendo para :

Passo 11

Agora que encontramos e , vamos encontrar o valor de usando uma das equações originais. Vamos usar a Equação (1):
Substituindo um dos pontos, por exemplo, :
Simplificando:

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
Simplificando:
Ou, de forma mais organizada:

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Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos e .
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Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
e
Marque, num sistema de coordenadas, os pontos , e .