Sejam
um espaço vetorial,
um elemento qualquer de
e
um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
c)
;
c)
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial
, um vetor qualquer
nesse espaço, e um número real
. A gente precisa provar que multiplicar esse número
pelo vetor zero
sempre dá o próprio vetor zero, ou seja,
. Vamos usar os axiomas dos espaços vetoriais para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um dos axiomas dos espaços vetoriais diz que existe um vetor zero
tal que, para qualquer vetor
em
,
. Esse vetor zero é único e funciona como uma identidade para a adição de vetores.
Passo 3
Agora, vamos considerar a multiplicação do número real
pelo vetor zero
. De acordo com os axiomas, a multiplicação escalar deve respeitar a distributividade, ou seja:
Vamos aplicar isso para
.
Passo 4
Substituindo
por
, temos:
Mas sabemos que
, então:
Passo 5
Para que a igualdade
seja verdadeira, o único possível é que
. Isso porque, se você subtrair
de ambos os lados, fica:
Resposta
Portanto, mostramos que
para qualquer número real
e qualquer vetor
no espaço vetorial
.