Sejam V um espaço vetorial, v in V um elemento qualquer de V e alpha in R um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
c) alpha 0=0;

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial , um vetor qualquer nesse espaço, e um número real . A gente precisa provar que multiplicar esse número pelo vetor zero sempre dá o próprio vetor zero, ou seja, . Vamos usar os axiomas dos espaços vetoriais para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dos axiomas dos espaços vetoriais diz que existe um vetor zero tal que, para qualquer vetor em , . Esse vetor zero é único e funciona como uma identidade para a adição de vetores.

Passo 3

Agora, vamos considerar a multiplicação do número real alpha cdot (v + w) = alpha cdot v + alpha cdot w pelo vetor zero . De acordo com os axiomas, a multiplicação escalar deve respeitar a distributividade, ou seja:
Vamos aplicar isso para .

Passo 4

Substituindo alpha cdot (v + 0) = alpha cdot v + alpha cdot 0 por alpha cdot v = alpha cdot v + alpha cdot 0 , temos:
Mas sabemos que , então:

Passo 5

Para que a igualdade 0 = alpha cdot 0 seja verdadeira, o único possível é que . Isso porque, se você subtrair de ambos os lados, fica:

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer número real e qualquer vetor no espaço vetorial .

Exercícios relacionados