Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices
e focos
.
Vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem seus vértices em
e seus focos também em
. Pra isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma hipérbole que está centrada na origem e abre para os lados (esquerda e direita):
Aqui,
é a distância do centro aos vértices e
é a distância do centro aos focos. Além disso, para hipérboles, a relação entre essas distâncias é:
Passo 3
No nosso caso, os vértices estão em
, então a distância
é 1. Ou seja:
Então,
.
Passo 4
Os focos também estão em
, o que significa que a distância
também é 1:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos usar a relação entre
,
e
na hipérbole:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Mas aqui encontramos um problema:
não pode ser zero em uma hipérbole, pois isso significaria que a hipérbole não existe (seria uma linha). Isso indica que não há uma hipérbole real que tenha vértices e focos no mesmo ponto.
Resposta
Não existe uma hipérbole real que tenha vértices e focos em
, pois isso violaria a condição
necessária para a existência de uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
. Calcule:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Encontre os vértices e os focos da elipse. Faça um esboço da elipse.
.
Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.