Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices e focos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem seus vértices em e seus focos também em . Pra isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma hipérbole que está centrada na origem e abre para os lados (esquerda e direita):
Aqui, é a distância do centro aos vértices e é a distância do centro aos focos. Além disso, para hipérboles, a relação entre essas distâncias é:

Passo 3

No nosso caso, os vértices estão em , então a distância é 1. Ou seja:
Então, .

Passo 4

Os focos também estão em , o que significa que a distância também é 1:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos usar a relação entre , e na hipérbole:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 6

Resolvendo para :
Mas aqui encontramos um problema: não pode ser zero em uma hipérbole, pois isso significaria que a hipérbole não existe (seria uma linha). Isso indica que não há uma hipérbole real que tenha vértices e focos no mesmo ponto.

Resposta

Não existe uma hipérbole real que tenha vértices e focos em , pois isso violaria a condição necessária para a existência de uma hipérbole.

Exercícios relacionados

Seja definida em e seja um real dado. Suponha que . Calcule:
a)
b)
c)
Encontre os vértices e os focos da elipse. Faça um esboço da elipse.
.
Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.