Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices +- 1,0 e focos +- 1,0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem seus vértices em e seus focos também em . Pra isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma hipérbole que está centrada na origem e abre para os lados (esquerda e direita):
Aqui, a é a distância do centro aos vértices e c é a distância do centro aos focos. Além disso, para hipérboles, a relação entre essas distâncias é:

Passo 3

No nosso caso, os vértices estão em , então a distância a é 1. Ou seja:
Então, .

Passo 4

Os focos também estão em , o que significa que a distância c também é 1:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos usar a relação entre c, a e b na hipérbole:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 6

Resolvendo para :
Mas aqui encontramos um problema: não pode ser zero em uma hipérbole, pois isso significaria que a hipérbole não existe (seria uma linha). Isso indica que não há uma hipérbole real que tenha vértices e focos no mesmo ponto.

Resposta

Não existe uma hipérbole real que tenha vértices e focos em , pois isso violaria a condição necessária para a existência de uma hipérbole.

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