Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
. Calcule:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de limites e derivadas, que são conceitos fundamentais no cálculo diferencial. Precisamos calcular três limites diferentes que envolvem a função
e um ponto específico
. Para isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades dos limites.
Passo 2
Parte a): Vamos calcular
.
Esse limite é justamente a definição da derivada de
no ponto
. A derivada, denotada por
, mede a taxa de variação de
em
.
Dado que
, isso significa que
.
Passo 3
Parte b): Agora, vamos calcular
.
Primeiro, vamos reescrever a expressão:
Aqui, dividimos e multiplicamos por 3 para facilitar o cálculo. Agora, observamos que:
Multiplicando por 3, temos:
Passo 4
Parte c): Vamos calcular
.
Vamos dividir a expressão em duas partes:
Cada uma dessas frações representa uma derivada:
Somando os dois limites:
Resposta
a)
b)
c)