Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que lim x p f(x)-f(p)x-p=L. Calcule:
a) lim h 0 f(p+h)-f(p)h
b) lim h 0 f(p+3 h)-f(p)h
c) lim h 0 f(p+h)-f(p-h)h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de limites e derivadas, que são conceitos fundamentais no cálculo diferencial. Precisamos calcular três limites diferentes que envolvem a função e um ponto específico . Para isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Parte a): Vamos calcular .
Esse limite é justamente a definição da derivada de no ponto . A derivada, denotada por , mede a taxa de variação de em .
Dado que , isso significa que .

Passo 3

Parte b): Agora, vamos calcular f(p + 3h) - f(p)h = f(p + 3h) - f(p)3h times 3 .
Primeiro, vamos reescrever a expressão:
limh to 0 f(p + 3h) - f(p)3h = f'(p) = L
Aqui, dividimos e multiplicamos por 3 para facilitar o cálculo. Agora, observamos que:
3 times L = 3L
Multiplicando por 3, temos:

Passo 4

Parte c): Vamos calcular f(p + h) - f(p - h)h = f(p + h) - f(p)h + f(p) - f(p - h)h .
Vamos dividir a expressão em duas partes:
L + L = 2L
Cada uma dessas frações representa uma derivada:
Somando os dois limites:

Resposta

a)
b)
c)

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