Encontre os vértices e os focos da elipse. Faça um esboço da elipse.
x^2/4 + y^2/16 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar os vértices e os focos da elipse dada pela equação e também fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente os relacionados às propriedades das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma elipse centrada na origem é , onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Precisamos identificar os valores de e na nossa equação.

Passo 3

Comparando a nossa equação com a forma geral, percebemos que e . Então, tirando a raiz quadrada, temos:
Isso significa que o semi-eixo maior tem comprimento 4 e o semi-eixo menor tem comprimento 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão localizados ao longo do eixo maior. Como e a elipse está alinhada com os eixos cartesianos, os vértices estarão nas posições . Então:
  • Vértices: e

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula , onde é a distância do centro aos focos. Substituindo os valores:
Então, os focos estão nas posições :
  • Focos: e

Passo 6

Vamos fazer um esboço da elipse. A elipse está centrada na origem , com o eixo maior vertical de comprimento 8 (2 vezes ) e o eixo menor horizontal de comprimento 4 (2 vezes ). Marca os vértices em e e os focos em e . Conecte esses pontos suavemente para formar a elipse.

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Esboço: Elipse centrada na origem, com eixo maior vertical de comprimento 8 e eixo menor horizontal de comprimento 4, focos localizados a uma distância de unidades acima e abaixo do centro.

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