Encontre os vértices e os focos da elipse. Faça um esboço da elipse.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar os vértices e os focos da elipse dada pela equação
e também fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente os relacionados às propriedades das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma elipse centrada na origem é
, onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Precisamos identificar os valores de
e
na nossa equação.
Passo 3
Comparando a nossa equação
com a forma geral, percebemos que
e
. Então, tirando a raiz quadrada, temos:
Isso significa que o semi-eixo maior tem comprimento 4 e o semi-eixo menor tem comprimento 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão localizados ao longo do eixo maior. Como
e a elipse está alinhada com os eixos cartesianos, os vértices estarão nas posições
. Então:
- Vértices:
e
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
, onde
é a distância do centro aos focos. Substituindo os valores:
Então, os focos estão nas posições
:
- Focos:
e
Passo 6
Vamos fazer um esboço da elipse. A elipse está centrada na origem
, com o eixo maior vertical de comprimento 8 (2 vezes
) e o eixo menor horizontal de comprimento 4 (2 vezes
). Marca os vértices em
e
e os focos em
e
. Conecte esses pontos suavemente para formar a elipse.
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Esboço: Elipse centrada na origem, com eixo maior vertical de comprimento 8 e eixo menor horizontal de comprimento 4, focos localizados a uma distância de
unidades acima e abaixo do centro.