Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação da hipérbole
e precisamos encontrar três coisas principais: os vértices, os focos e as assíntotas dessa hipérbole. Além disso, devemos fazer um esboço da hipérbole. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equação padrão da hipérbole e as fórmulas que nos ajudam a encontrar essas características.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação da hipérbole na forma padrão. A equação geral de uma hipérbole com eixo transverse no eixo x é:
No nosso caso, a equação é
. Para colocá-la na forma padrão, dividimos os dois lados por 4:
Assim, identificamos que
e
, o que nos dá
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Os vértices estão localizados a uma distância
do centro da hipérbole ao longo do eixo transverse. Como nossa hipérbole está centrada na origem
e o eixo transverse está no eixo x, os vértices serão:
Portanto, os vértices são
e
.
Passo 4
Para encontrar os focos da hipérbole, usamos a relação
. Sabemos que
e
, então:
Os focos também estão ao longo do eixo transverse, então suas coordenadas são:
Assim, os focos são
e
.
Passo 5
As assíntotas da hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para uma hipérbole na forma
, as equações das assíntotas são dadas por:
No nosso caso,
e
, então:
Portanto, as assíntotas são as retas
e
.
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
, os focos são
e
, e as assíntotas são as retas
e
. Além disso, o esboço da hipérbole mostrará duas curvas abertas ao longo do eixo x, que se aproximam das assíntotas à medida que se afastam dos vértices.