Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação da hipérbole e precisamos encontrar três coisas principais: os vértices, os focos e as assíntotas dessa hipérbole. Além disso, devemos fazer um esboço da hipérbole. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equação padrão da hipérbole e as fórmulas que nos ajudam a encontrar essas características.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação da hipérbole na forma padrão. A equação geral de uma hipérbole com eixo transverse no eixo x é:
No nosso caso, a equação é . Para colocá-la na forma padrão, dividimos os dois lados por 4:
Assim, identificamos que e , o que nos dá e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Os vértices estão localizados a uma distância do centro da hipérbole ao longo do eixo transverse. Como nossa hipérbole está centrada na origem e o eixo transverse está no eixo x, os vértices serão:
Portanto, os vértices são e .

Passo 4

Para encontrar os focos da hipérbole, usamos a relação . Sabemos que e , então:
Os focos também estão ao longo do eixo transverse, então suas coordenadas são:
Assim, os focos são e .

Passo 5

As assíntotas da hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para uma hipérbole na forma , as equações das assíntotas são dadas por:
No nosso caso, e , então:
Portanto, as assíntotas são as retas e .

Resposta

Os vértices da hipérbole são e , os focos são e , e as assíntotas são as retas e . Além disso, o esboço da hipérbole mostrará duas curvas abertas ao longo do eixo x, que se aproximam das assíntotas à medida que se afastam dos vértices.

Exercícios relacionados

Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices e focos .
Seja definida em e seja um real dado. Suponha que . Calcule:
a)
b)
c)
Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.
Mostre que a menor distância de um ponto a uma reta é: