Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores a) V=[lla & b c & d] com a, b, c, d in R e b=c

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos verificar se o subconjunto de matrizes com entradas reais, onde , é um subespaço de . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o subconjunto 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero. A matriz zero em é:
Aqui, e , então . Portanto, a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se A = a1 & b b & d1 , B = a2 & b b & d2 é fechado sob adição. Seja A + B = a1 + a2 & b + b b + b & d1 + d2 = a1 + a2 & 2b 2b & d1 + d2 e duas matrizes em :
Ao somarmos :
Observamos que a nova matriz ainda tem (pois ), então também está em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se A = a & b b & d é fechado sob multiplicação por escalar. Seja kA = ka & kb kb & kd uma matriz em e um escalar real:
Multiplicando por :
Aqui, se torna e também é , mantendo . Portanto, está em .

Resposta

Como 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de . Um conjunto gerador para pode ser:

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