Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba geradores a)
com
e
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos verificar se o subconjunto
de matrizes
com entradas reais, onde
, é um subespaço de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se
satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o subconjunto
contém a matriz zero. A matriz zero em
é:
Aqui,
e
, então
. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Seja
e
duas matrizes em
:
Ao somarmos
:
Observamos que a nova matriz ainda tem
(pois
), então
também está em
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
uma matriz em
e
um escalar real:
Multiplicando por
:
Aqui,
se torna
e
também é
, mantendo
. Portanto,
está em
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
. Um conjunto gerador para
pode ser: