Encontre a equação horária do vetor posição instantâneo
em função do tempo.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para encontrar a equação horária do vetor posição instantâneo, que é representado por
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cinemática Vetorial, onde estudamos como objetos se movem no espaço em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a posição, a velocidade e o tempo usando cálculo, especialmente integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição
descreve a posição de um objeto em qualquer instante de tempo
. A velocidade instantânea
é a derivada do vetor posição em relação ao tempo, ou seja:
Para encontrar o vetor posição a partir da velocidade, precisamos fazer a operação inversa, que é integrar a velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar a equação da velocidade para encontrar o vetor posição:
Aqui,
é o vetor posição inicial, ou seja, a posição do objeto no tempo
.
Passo 4
Se a velocidade
for constante, a integral fica mais simples. Vamos supor que a velocidade seja constante, então:
Isso nos dá uma equação linear que mostra como a posição muda com o tempo quando a velocidade é constante.
Passo 5
Se a velocidade não for constante, ou seja, se depender do tempo, teremos que integrar cada componente da velocidade em relação ao tempo. Por exemplo, se:
Então, a posição será:
Resposta
A equação horária do vetor posição instantâneo em função do tempo é:
onde
é a velocidade constante e
é o vetor posição inicial.