Encontre a equação horária do vetor posição instantâneo em função do tempo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para encontrar a equação horária do vetor posição instantâneo, que é representado por . Isso está relacionado ao conteúdo de Cinemática Vetorial, onde estudamos como objetos se movem no espaço em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a posição, a velocidade e o tempo usando cálculo, especialmente integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição descreve a posição de um objeto em qualquer instante de tempo . A velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo, ou seja:
Para encontrar o vetor posição a partir da velocidade, precisamos fazer a operação inversa, que é integrar a velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a equação da velocidade para encontrar o vetor posição:
Aqui, é o vetor posição inicial, ou seja, a posição do objeto no tempo .

Passo 4

Se a velocidade for constante, a integral fica mais simples. Vamos supor que a velocidade seja constante, então:
Isso nos dá uma equação linear que mostra como a posição muda com o tempo quando a velocidade é constante.

Passo 5

Se a velocidade não for constante, ou seja, se depender do tempo, teremos que integrar cada componente da velocidade em relação ao tempo. Por exemplo, se:
Então, a posição será:

Resposta

A equação horária do vetor posição instantâneo em função do tempo é:
onde é a velocidade constante e é o vetor posição inicial.

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