Encontre a equação horária do vetor posição instantâneo r(t) em função do tempo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício pedindo para encontrar a equação horária do vetor posição instantâneo, que é representado por r(t). Isso está relacionado ao conteúdo de Cinemática Vetorial, onde estudamos como objetos se movem no espaço em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a posição, a velocidade e o tempo usando cálculo, especialmente integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição r(t) descreve a posição de um objeto em qualquer instante de tempo t. A velocidade instantânea v(t) é a derivada do vetor posição em relação ao tempo, ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Para encontrar o vetor posição a partir da velocidade, precisamos fazer a operação inversa, que é integrar a velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a equação da velocidade para encontrar o vetor posição:
r(t) = integral v(t) , dt + r0
Aqui, r0 é o vetor posição inicial, ou seja, a posição do objeto no tempo t = 0.

Passo 4

Se a velocidade v(t) for constante, a integral fica mais simples. Vamos supor que a velocidade seja constante, então:
r(t) = v cdot t + r0
Isso nos dá uma equação linear que mostra como a posição muda com o tempo quando a velocidade é constante.

Passo 5

Se a velocidade não for constante, ou seja, se depender do tempo, teremos que integrar cada componente da velocidade em relação ao tempo. Por exemplo, se:
v(t) = vx(t) , i + vy(t) , j + vz(t) , k
Então, a posição será:
r(t) = ( integral vx(t) , dt ) i + ( integral vy(t) , dt ) j + ( integral vz(t) , dt ) k + r0

Resposta

A equação horária do vetor posição instantâneo em função do tempo é:
r(t) = v cdot t + r0
onde v é a velocidade constante e r0 é o vetor posição inicial.

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