Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto
e tem reta diretriz com equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de parábolas! A gente precisa encontrar a equação da parábola que tem o foco no ponto
e a reta diretriz com a equação
. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria das parábolas e a fórmula da distância entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado de foco, e de uma reta fixa, chamada de diretriz. Então, qualquer ponto
na parábola satisfaz a condição:
Passo 3
Vamos calcular essas distâncias.
A distância entre
e o foco
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Já a distância de
à diretriz
é dada pela fórmula da distância de um ponto a uma reta:
Passo 4
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais:
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Para facilitar, multiplicamos tudo por 2:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos:
Distribuindo os 2:
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A equação da parábola é: