Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto F=(1,1) e tem reta diretriz com equação y=-x-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de parábolas! A gente precisa encontrar a equação da parábola que tem o foco no ponto e a reta diretriz com a equação . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria das parábolas e a fórmula da distância entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado de foco, e de uma reta fixa, chamada de diretriz. Então, qualquer ponto Distância de P ao foco F = Distância de P à diretriz na parábola satisfaz a condição:
ââà

Passo 3

Vamos calcular essas distâncias.
A distância entre raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 e o foco |x + y + 2|raiz1^2 + 1^2 = |x + y + 2|raiz2 é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Já a distância de à diretriz é dada pela fórmula da distância de um ponto a uma reta:

Passo 4

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais:
raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = |x + y + 2|raiz2
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + y + 2)^22
Para facilitar, multiplicamos tudo por 2:
2(x - 1)^2 + 2(y - 1)^2 = (x + y + 2)^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
2(x^2 - 2x + 1) + 2(y^2 - 2y + 1) = x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4
Distribuindo os 2:
2x^2 - 4x + 2 + 2y^2 - 4y + 2 = x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
2x^2 - 4x + 2 + 2y^2 - 4y + 2 - x^2 - 2xy - y^2 - 4x - 4y - 4 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
x^2 - 8x + y^2 - 8y - 2xy = 0

Resposta

A equação da parábola é:
x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y = 0

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