Sejam u = <2, -1, 3> e w = <4, 0, -1>. Escreva u como uma soma u = u1 + u2 em que u1 é paralelo a w e u_2 é ortogonal a w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e . A tarefa é escrever o vetor u como uma soma de dois vetores: que é paralelo a w e que é ortogonal (ou seja, perpendicular) a w. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como projeção de vetores e propriedades de vetores paralelos e ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor , que é a projeção de u na direção de w. A fórmula para a projeção de u em w é:
Aqui, “ \cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 5

Com esses valores, podemos encontrar a projeção :

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar usando a relação:
Isso garante que seja ortogonal a w.

Passo 7

Subtraindo os vetores:
Simplificando as componentes:

Resposta

Portanto, a decomposição de u é:

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