Sejam
e
. Escreva
como uma soma
em que
é paralelo a
e
é ortogonal a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
. A tarefa é escrever o vetor
como uma soma de dois vetores:
que é paralelo a
e
que é ortogonal (ou seja, perpendicular) a
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como projeção de vetores e propriedades de vetores paralelos e ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor
, que é a projeção de
na direção de
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Aqui, “
” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Com esses valores, podemos encontrar a projeção
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a relação:
Isso garante que
seja ortogonal a
.
Passo 7
Subtraindo os vetores:
Simplificando as componentes:
Resposta
Portanto, a decomposição de
é: