Seja o triângulo de vértices A(-1,2,4) B(3,1,2) e C(-1,2,1) encontre seu perímetro e área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria espacial! A gente tem um triângulo com três vértices no espaço: A(-1,2,4), B(3,1,2) e C(-1,2,1). Nosso objetivo é encontrar o perímetro e a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar calcular as distâncias entre os pontos para achar os lados e depois usar fórmulas de geometria para determinar o perímetro e a área.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre cada par de pontos para encontrar os lados do triângulo. A fórmula para a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e no espaço é:
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar , e .

Passo 3

Vamos calcular cada lado:
  1. Lado AB:
    AB = raiz(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 4)^2 = raiz(4)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21 approx 4,583
  2. Lado BC:
    BC = raiz(-1 - 3)^2 + (2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = raiz(-4)^2 + (1)^2 + (-1)^2 = raiz16 + 1 + 1 = raiz18 approx 4,243
  3. Lado AC:
    AC = raiz(-1 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 + (1 - 4)^2 = raiz(0)^2 + (0)^2 + (-3)^2 = raiz0 + 0 + 9 = raiz9 = 3

Passo 4

Agora que temos os comprimentos dos lados, podemos calcular o perímetro somando todos eles:
Perímetro = AB + BC + AC approx 4,583 + 4,243 + 3 = 11,826 í
Para encontrar a área, podemos usar a fórmula de Heron. Primeiro, calculamos o semiperímetro s = AB + BC + AC2 = 11,8262 = 5,913 :
Área = raizs(s - AB)(s - BC)(s - AC) = raiz5,913(5,913 - 4,583)(5,913 - 4,243)(5,913 - 3)
Depois, aplicamos a fórmula de Heron:
5,913 - 4,583 = 1,330 5,913 - 4,243 = 1,670 5,913 - 3 = 2,913 Á
Vamos calcular passo a passo:
Área = raiz5,913 times 1,330 times 1,670 times 2,913 approx raiz5,913 times 1,330 times 1,670 times 2,913 approx raiz38,000 approx 195
Então,
Á

Resposta

O perímetro do triângulo é aproximadamente 11,826 unidades e a área é aproximadamente 195 unidades quadradas.

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