Encontre uma equação para o plano gerado pelos vetores u=(-1,1,1) e v=(3,4,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar a equação de um plano que é gerado pelos vetores u=(-1,1,1) e v=(3,4,4). Para isso, a gente vai usar conceitos de Álgebra Linear, mais especificamente, vamos precisar entender como determinar uma equação de plano usando vetores que estão nele.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, a gente precisa de um vetor normal a esse plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular ao plano, e um jeito de achar isso é calculando o produto vetorial dos vetores que geram o plano, que nesse caso são u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
u times v = ( (1)(4) - (1)(4), (1)(3) - (-1)(4), (-1)(4) - (1)(3) ) = (4 - 4, 3 + 4, -4 - 3) = (0, 7, -7)
Então, o vetor normal n é (0, 7, -7).

Passo 4

Agora que temos o vetor normal, podemos escrever a equação do plano. A fórmula geral da equação de um plano usando um vetor normal n = (A, B, C) e um ponto (x0, y0, z0) que está no plano é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Como os vetores u e v geram o plano e assumimos que passam pela origem, podemos usar o ponto (0, 0, 0). Substituindo os valores:
0(x - 0) + 7(y - 0) - 7(z - 0) = 0
Simplificando:
7y - 7z = 0

Resposta

A equação do plano é 7y - 7z = 0.

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