Estenda o conjunto
a uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estender o conjunto
para formar uma base do espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases, independência linear e espaços vetoriais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar quantos elementos temos no conjunto inicial. Aqui, temos dois polinômios:
e
Como
tem dimensão 3 (ou seja, precisamos de 3 polinômios base para formar uma base), ainda falta um polinômio para completar a base. Mas antes de adicionar qualquer coisa, precisamos garantir que os dois polinômios que já temos são lineares ou seja, independentes. Se eles forem independentes, podemos prosseguir adicionando mais um; se não, precisamos ajustar.
Passo 3
Vamos verificar se
e
são linearmente independentes. Dois vetores (ou polinômios, no nosso caso) são independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Vamos ver se existe um número
tal que:
Vamos comparar os coeficientes:
Para
:
Para
:
Já tínhamos
e agora
, o que é impossível. Isso significa que não existe um único
que satisfaça ambas as equações. Portanto,
e
são linareamente independentes.
Passo 4
Agora que sabemos que
e
são independentes, precisamos adicionar um terceiro polinômio para completar a base de
. Vamos escolher um polinômio que não possa ser formado a partir de combinações lineares de
e
. Um bom candidato é o próprio
, que é “simples” e provavelmente não está no espaço gerado por
e
.
Vamos verificar se
pode ser escrito como combinação de
e
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Agrupando os termos:
Para que isso seja igual a
, os coeficientes dos outros termos devem ser zero:
Resolvendo esse sistema, vemos que não há solução consistente, o que significa que
não pode ser escrito como combinação de
e
. Portanto,
é um bom candidato para completar a base.
Resposta
Então, estendendo o conjunto
com o polinômio
, obtemos uma base para
: