Estenda o conjunto [x^2+2 x+1, x^2+6 x+3 a uma base de P2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estender o conjunto x^2+2x+1,, x^2+6x+3 para formar uma base do espaço vetorial P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases, independência linear e espaços vetoriais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar quantos elementos temos no conjunto inicial. Aqui, temos dois polinômios:
p1(x) = x^2 + 2x + 1
e
p2(x) = x^2 + 6x + 3
Como P2 tem dimensão 3 (ou seja, precisamos de 3 polinômios base para formar uma base), ainda falta um polinômio para completar a base. Mas antes de adicionar qualquer coisa, precisamos garantir que os dois polinômios que já temos são lineares ou seja, independentes. Se eles forem independentes, podemos prosseguir adicionando mais um; se não, precisamos ajustar.

Passo 3

Vamos verificar se p1(x) e p2(x) são linearmente independentes. Dois vetores (ou polinômios, no nosso caso) são independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Vamos ver se existe um número k tal que:
p2(x) = k cdot p1(x)
Vamos comparar os coeficientes:
Para x^2:
1 cdot k = 1 implies k = 1
Para x:
2 cdot k = 6 implies k = 3
Já tínhamos k = 1 e agora k = 3, o que é impossível. Isso significa que não existe um único k que satisfaça ambas as equações. Portanto, p1(x) e p2(x) são linareamente independentes.

Passo 4

Agora que sabemos que p1(x) e p2(x) são independentes, precisamos adicionar um terceiro polinômio para completar a base de P2. Vamos escolher um polinômio que não possa ser formado a partir de combinações lineares de p1(x) e p2(x). Um bom candidato é o próprio x, que é “simples” e provavelmente não está no espaço gerado por p1(x) e p2(x).
Vamos verificar se x pode ser escrito como combinação de p1(x) e p2(x):
a cdot p1(x) + b cdot p2(x) = x
Isso nos dá o sistema de equações:
a( x^2 + 2x + 1 ) + b( x^2 + 6x + 3 ) = x
Agrupando os termos:
(a + b) x^2 + (2a + 6b) x + (a + 3b) = x
Para que isso seja igual a x, os coeficientes dos outros termos devem ser zero:
a + b = 0 2a + 6b = 1 a + 3b = 0
Resolvendo esse sistema, vemos que não há solução consistente, o que significa que x não pode ser escrito como combinação de p1(x) e p2(x). Portanto, x é um bom candidato para completar a base.

Resposta

Então, estendendo o conjunto x^2+2x+1,, x^2+6x+3 com o polinômio x, obtemos uma base para P2:
, x^2+2x+1,, x^2+6x+3,, x ,

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