Quais dos seguintes coniuntos:
v0(x)=1, v1(x)=1+x e v2(x)=1+x^2
constituem base para P2

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para a gente verificar quais dos conjuntos de funções dadas formam uma base para o espaço P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) satisfaz os requisitos de serem uma base.

Passo 2

Primeiro, uma base para P2 precisa ter três funções que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço P2. Ou seja, qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação dessas três funções.

Passo 3

As funções dadas são:
  • v0(x) = 1
  • v1(x) = 1 + x
  • v2(x) = 1 + x^2
Vamos representar cada uma dessas funções como vetores de coeficientes em relação à base padrão 1, x, x^2:
  • v0(x) = 1 corresponde ao vetor (1, 0, 0)
  • v1(x) = 1 + x corresponde ao vetor (1, 1, 0)
  • v2(x) = 1 + x^2 corresponde ao vetor (1, 0, 1)

Passo 4

Agora, para verificar se esses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles e calcular o determinante:
1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Calculando o determinante:
1 times (1 times 1 - 0 times 0) - 1 times (0 times 1 - 0 times 0) + 1 times (0 times 0 - 1 times 0) = 1 - 0 + 0 = 1

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( 1 neq 0), isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores e o espaço P2 também é de dimensão 3, esses vetores geram todo o espaço.

Resposta

Portanto, o conjunto v0(x), v1(x), v2(x) constitui uma base para P2.

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