Quais dos seguintes coniuntos: e
constituem base para
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para a gente verificar quais dos conjuntos de funções dadas formam uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) satisfaz os requisitos de serem uma base.
Passo 2
Primeiro, uma base para precisa ter três funções que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. Ou seja, qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação dessas três funções.
Passo 3
As funções dadas são:
Vamos representar cada uma dessas funções como vetores de coeficientes em relação à base padrão :
corresponde ao vetor
corresponde ao vetor
corresponde ao vetor
Passo 4
Agora, para verificar se esses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero (), isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores e o espaço também é de dimensão 3, esses vetores geram todo o espaço.