Quais dos seguintes coniuntos:
e
constituem base para

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para a gente verificar quais dos conjuntos de funções dadas formam uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) satisfaz os requisitos de serem uma base.

Passo 2

Primeiro, uma base para precisa ter três funções que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço . Ou seja, qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação dessas três funções.

Passo 3

As funções dadas são:
Vamos representar cada uma dessas funções como vetores de coeficientes em relação à base padrão :
  • corresponde ao vetor
  • corresponde ao vetor
  • corresponde ao vetor

Passo 4

Agora, para verificar se esses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles e calcular o determinante:
Calculando o determinante:

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos três vetores e o espaço também é de dimensão 3, esses vetores geram todo o espaço.

Resposta

Portanto, o conjunto constitui uma base para .

Exercícios relacionados

Estenda o conjunto a uma base de .
Seja uma matriz nxpe seja . Se , encontre uma base para o subespaço de nxn e obtenha a dim
Encontre uma equação para o plano gerado pelos vetores .
Encontre equações paramétricas para a reta gerada pelo vetor .