Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fron teira de E, orientada positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas fun ções componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então
isso é o
A. Teorema do campo escalar
B. Teorema estacionário
C. Teorema do divergente
D. Teorema de Cardano
E. Teorema de Green
A. Teorema do campo escalar
B. Teorema estacionário
C. Teorema do divergente
D. Teorema de Cardano
E. Teorema de Green
Passo 1
Olha só, a questão está falando sobre uma igualdade entre integrais envolvendo um campo vetorial
e uma região sólida
com sua superfície fronteira
. O conteúdo principal aqui é o cálculo vetorial, especificamente os teoremas que relacionam integrais de superfície e volume. Para resolver, vamos precisar entender o que cada teorema mencionado representa e ver qual deles corresponde à igualdade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada opção representa:
- A. Teorema do campo escalar: Não é um teorema padrão no cálculo vetorial.
- B. Teorema estacionário: Tampouco é um teorema conhecido nesse contexto.
- C. Teorema do divergente: Este é conhecido também como Teorema de Gauss e relaciona integrais de superfície com integrais de volume envolvendo a divergência de um campo vetorial.
- D. Teorema de Cardano: É um teorema da álgebra sobre soluções de equações cúbicas, não relacionado aqui.
- E. Teorema de Green: Relaciona integrais de linha com integrais duplas, mas em dimensões menores.
Passo 3
Agora, vamos focar no Teorema do divergente (Teorema de Gauss). Esse teorema estabelece que a integral de superfície do campo vetorial
sobre
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
. Matemáticamente, está expressa como:
Isso exatamente corresponde à igualdade apresentada na questão.
Passo 4
Para confirmar, os outros teoremas não se aplicam aqui:
- O Teorema de Green trabalha com integrais de linha e superfícies em 2D.
- Os demais, como o Teorema de Cardano, não são aplicáveis ao contexto de campos vetoriais e integrais.
Resposta
C. Teorema do divergente
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Ele representa o seguinte argumento: assumindo como verdadeiras a premissa 1 e a premissa 2, pretendemos deduzir que também é verdadeira a conclusão. Um argumento desse tipo será considerado um argumento válido, se a conclusão seguir necessariamente das premissas, isto é, se não for possível termos as premissas verdadeiras
a conclusão falsa. Com esse significado, propõe-se o seguinte problema: dadas duas proposições simples
e
, determine quais dos argumentos abaixo são válidos:
a)
a)
b)
c)
d)
Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de
no ponto
.