Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fron teira de E, orientada positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas fun ções componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então
isso é o
A. Teorema do campo escalar
B. Teorema estacionário
C. Teorema do divergente
D. Teorema de Cardano
E. Teorema de Green

Passo 1

Olha só, a questão está falando sobre uma igualdade entre integrais envolvendo um campo vetorial e uma região sólida com sua superfície fronteira . O conteúdo principal aqui é o cálculo vetorial, especificamente os teoremas que relacionam integrais de superfície e volume. Para resolver, vamos precisar entender o que cada teorema mencionado representa e ver qual deles corresponde à igualdade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada opção representa:
  • A. Teorema do campo escalar: Não é um teorema padrão no cálculo vetorial.
  • B. Teorema estacionário: Tampouco é um teorema conhecido nesse contexto.
  • C. Teorema do divergente: Este é conhecido também como Teorema de Gauss e relaciona integrais de superfície com integrais de volume envolvendo a divergência de um campo vetorial.
  • D. Teorema de Cardano: É um teorema da álgebra sobre soluções de equações cúbicas, não relacionado aqui.
  • E. Teorema de Green: Relaciona integrais de linha com integrais duplas, mas em dimensões menores.

Passo 3

Agora, vamos focar no Teorema do divergente (Teorema de Gauss). Esse teorema estabelece que a integral de superfície do campo vetorial sobre é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume . Matemáticamente, está expressa como:
Isso exatamente corresponde à igualdade apresentada na questão.

Passo 4

Para confirmar, os outros teoremas não se aplicam aqui:
  • O Teorema de Green trabalha com integrais de linha e superfícies em 2D.
  • Os demais, como o Teorema de Cardano, não são aplicáveis ao contexto de campos vetoriais e integrais.

Resposta

C. Teorema do divergente

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Ele representa o seguinte argumento: assumindo como verdadeiras a premissa 1 e a premissa 2, pretendemos deduzir que também é verdadeira a conclusão. Um argumento desse tipo será considerado um argumento válido, se a conclusão seguir necessariamente das premissas, isto é, se não for possível termos as premissas verdadeiras a conclusão falsa. Com esse significado, propõe-se o seguinte problema: dadas duas proposições simples e , determine quais dos argumentos abaixo são válidos:
a)
b)
c)
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d)
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Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de no ponto .