O objetivo desta questão é calcular o volume do conjunto
de todos os pontos
tais que
e
.
(a) Considere
e
e escreva
em função de
.
(a) Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar as variáveis
,
e
em função de
,
e
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especialmente a mudança de variáveis utilizando um sistema de equações. Vamos precisar manipular as equações dadas para isolar
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que nos foram dadas:
Aqui,
já está definido como
, então já temos uma expressão direta para
.
Passo 3
Como
, podemos substituir
por
nas outras equações:
Agora, temos duas equações com
e
.
Passo 4
Vamos resolver uma das equações para expressar
em termos de
,
e
. Da primeira equação:
Agora, temos
em termos de
,
e
.
Passo 5
Substituímos a expressão de
na segunda equação:
Agora, temos uma equação com
em termos de
,
e
.
Passo 6
Vamos isolar
nessa equação:
Agora, temos
em termos de
,
e
.
Passo 7
Com
encontrado, podemos substituir de volta na expressão que encontramos para
:
Vamos simplificar isso:
Então,
.
Passo 8
Recapitulando, já definimos todas as variáveis em termos de
,
e
:
Resposta
As variáveis em função de
,
e
são: