O objetivo desta questão é calcular o volume do conjunto B de todos os pontos (x, y, z) tais que 1 <= x + y + z <= 3, x + y <= z <= x + y + 2, x >= 0 e y ≥ 0.
(a) Considere u = z - x - y, v = x + y + z e w = x e escreva x, y, z em função de u, v, w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar as variáveis , e em função de , e . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especialmente a mudança de variáveis utilizando um sistema de equações. Vamos precisar manipular as equações dadas para isolar , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que nos foram dadas:
Aqui, já está definido como , então já temos uma expressão direta para .

Passo 3

Como , podemos substituir por nas outras equações:
Agora, temos duas equações com e .

Passo 4

Vamos resolver uma das equações para expressar em termos de , e . Da primeira equação:
Agora, temos em termos de , e .

Passo 5

Substituímos a expressão de na segunda equação:
Agora, temos uma equação com em termos de , e .

Passo 6

Vamos isolar nessa equação:
Agora, temos em termos de , e .

Passo 7

Com encontrado, podemos substituir de volta na expressão que encontramos para :
Vamos simplificar isso:
Então, .

Passo 8

Recapitulando, já definimos todas as variáveis em termos de , e :

Resposta

As variáveis em função de , e são:

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