O objetivo desta questão é calcular o volume do conjunto de todos os pontos tais que e .
(d) Justifique que , onde é dado abaixo:
Passo 1
Resumo do Problema:
Precisamos calcular o volume do conjunto formado por todos os pontos que satisfazem as seguintes condições:
e
Além disso, devemos justificar que a integral tripla sobre pode ser expressa como:
onde é uma região específica no plano .
Conteúdo Envolvido:
Cálculo de integrais triplas.
Mudança de variáveis para facilitar a integração.
Cálculo do determinante jacobiano.
Passo 2
Entendendo as Inequações:
Vamos analisar cada condição para entender melhor a região :
: Isso define duas restrições em relação à soma das coordenadas, limitando entre e .
: Restringe a estar entre e .
e : Restringe a região ao primeiro octante, onde e são não-negativos.
Objetivo:
Transformar a integral tripla sobre em uma integral dupla mais simples usando uma mudança de variáveis adequada.
Passo 3
Mudança de Variáveis:
Para simplificar a integral, vamos definir novas variáveis:
Com isso, podemos expressar em termos de e :
Novas Inequações:
Substituindo nas inequações:
Simplificando a segunda inequação:
Desta forma, temos uma relação entre e .
Passo 4
Determinação dos Limites de Integração:
A partir das inequações:
Podemos expressar em função de :
Considerando que e , também será não-negativo:
Portanto, os limites para são:
Região :
A região no plano é definida por:
Passo 5
Cálculo do Jacobiano:
Ao realizar a mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar a integral. As novas variáveis são e , e vamos introduzir como uma terceira variável para completar a transformação.
Definimos:
A transformação completa é:
O determinante jacobiano é:
Após calcular, encontramos que .
Passo 6
Expressando a Integral Tripla em Termos de integral triplaB dx,dy,dz = 12 integral duplaK [ integral0^12(v - u) dw ] du,dv e :
Com a mudança de variáveis e o determinante jacobiano, a integral tripla se transforma em:
Aqui, é a região no plano que determinamos no Passo 4. A integral interna representa a integração ao longo da terceira dimensão , e o fator vem do determinante jacobiano.
Resposta
Foi justificado que:
integral triplaB dx,dy,dz = 12 integral duplaK [ integral0^12(v - u) dw ] du,dv