O objetivo desta questão é calcular o volume do conjunto B de todos os pontos (x, y, z) tais que 1 <= x+y+z <= 3, x+y <= z <= x+y+2, x >= 0 e y >= 0.
(d) Justifique que integral triplaB dxdydz=12 integral duplaK[integral0^12(v-u) dw] dudv, onde K é dado abaixo:

Passo 1

Resumo do Problema:
Precisamos calcular o volume do conjunto integral triplaB dx,dy,dz = 12 integral duplaK [ integral0^12(v - u) dw ] du,dv formado por todos os pontos que satisfazem as seguintes condições:
  • e
Além disso, devemos justificar que a integral tripla sobre pode ser expressa como:
onde é uma região específica no plano .
Conteúdo Envolvido:
  • Cálculo de integrais triplas.
  • Mudança de variáveis para facilitar a integração.
  • Cálculo do determinante jacobiano.

Passo 2

Entendendo as Inequações:
Vamos analisar cada condição para entender melhor a região :
  1. : Isso define duas restrições em relação à soma das coordenadas, limitando entre e .
  2. : Restringe a estar entre e .
  3. e : Restringe a região ao primeiro octante, onde e são não-negativos.
Objetivo:
Transformar a integral tripla sobre em uma integral dupla mais simples usando uma mudança de variáveis adequada.

Passo 3

Mudança de Variáveis:
Para simplificar a integral, vamos definir novas variáveis:
u = x + y + z v = x + y
Com isso, podemos expressar z = u - v em termos de 1 <= u <= 3 v <= u - v <= v + 2 e 2v <= u <= 2v + 2 :
Novas Inequações:
Substituindo nas inequações:
Simplificando a segunda inequação:
Desta forma, temos uma relação entre e .

Passo 4

Determinação dos Limites de Integração:
A partir das inequações:
1 <= u <= 3 2v <= u <= 2v + 2
Podemos expressar 2v <= u implies v <= u2 u <= 2v + 2 implies v >= u - 22 em função de v >= 0 :
max(0, u - 22) <= v <= u2
Considerando que 1 <= u <= 3 max(0, u - 22) <= v <= u2 e , também será não-negativo:
Portanto, os limites para são:
Região :
A região no plano é definida por:

Passo 5

Cálculo do Jacobiano:
Ao realizar a mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar a integral. As novas variáveis são w = w (mantém-se como uma variável independente) e u = x + y + z v = x + y w = w , e vamos introduzir J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w como uma terceira variável para completar a transformação.
Definimos:
éá
A transformação completa é:
O determinante jacobiano é:
Após calcular, encontramos que .

Passo 6

Expressando a Integral Tripla em Termos de integral triplaB dx,dy,dz = 12 integral duplaK [ integral0^12(v - u) dw ] du,dv e :
Com a mudança de variáveis e o determinante jacobiano, a integral tripla se transforma em:
Aqui, é a região no plano que determinamos no Passo 4. A integral interna representa a integração ao longo da terceira dimensão , e o fator vem do determinante jacobiano.

Resposta

Foi justificado que:
integral triplaB dx,dy,dz = 12 integral duplaK [ integral0^12(v - u) dw ] du,dv
onde é a região definida por e .

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