Encontre a equação do plano tangente a superfície x^3 * y + z^2 = 3 no ponto (-1, 1, 2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. Podemos reescrever a equação dada como:
Aqui, é uma função de três variáveis.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Essas derivadas nos darão a direção normal à superfície no ponto dado.
As derivadas parciais são:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

Exercícios relacionados

Mostre que lim (x, y) (0,0) sen(x y)x+y não existe.
Seja z=y+f(x^2-y^2), onde f é diferenciável. Mostre que
y partial zpartial x+x partial zpartial y=x
Verifique se o limite existe ou não e calcule caso exista. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x-y
Encontre os pontos críticos de
w = -3*x^2 - 3*x*y - y^2 - 12*y + 24*x
e diga qual o tipo de cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela).