Encontre a equação do plano tangente a superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. Podemos reescrever a equação dada como:
Aqui,
é uma função de três variáveis.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Essas derivadas nos darão a direção normal à superfície no ponto dado.
As derivadas parciais são:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
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, onde
é diferenciável. Mostre que
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