Mostre que
não existe.
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar os limites ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de
e ver se obtemos resultados iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na expressão, temos:
Portanto, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na expressão, obtemos:
Sabemos que, para
próximo de
,
. Então:
Assim, pelo caminho
, o limite também é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar um caminho diferente:
. Substituindo na expressão, temos:
Para
próximo de
,
. Assim:
Portanto, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Resposta
Como os limites ao longo de diferentes caminhos (
e
) são diferentes, concluímos que o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
é diferenciável. Mostre que
Encontre as equações dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto da superfície
tal que
seja máximo. (nota: não precisa resolver, basta encontrar as equações.)
Encontre a equação do plano tangente a superfície
no ponto
.
Verifique se o limite existe ou não e calcule caso exista. Justifique sua resposta.