Esboce o gráfico da função
, sabendo que
a)
e
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
sabendo que a sua derivada é
e que
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a integração para encontrar a função original a partir da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a derivada
nos dá a inclinação da função
em cada ponto
. Para encontrar a função
, precisamos integrar essa derivada.
Passo 3
Vamos integrar
:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a constante
. Sabemos que
. Vamos substituir
na equação:
Passo 5
Com isso, a função fica:
Passo 6
Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns pontos:
- Quando
, (já sabemos). - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
Passo 7
Além disso, sabemos que a parábola
tem concavidade para cima, já que o coeficiente de
é positivo. O vértice da parábola pode ser encontrado completando o quadrado ou usando a fórmula
:
Substituindo na função:
Então, o vértice é
.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com concavidade para cima, passando pelos pontos (0,0), (1,0), (2,2), (-1,2) e com vértice em
.
Exercícios relacionados
Calcule
e)
e)
© Mostre que
é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de
no ponto
.