Esboce o gráfico da função , sabendo que
a) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função sabendo que a sua derivada é e que . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a integração para encontrar a função original a partir da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto . Para encontrar a função , precisamos integrar essa derivada.

Passo 3

Vamos integrar :
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a constante . Sabemos que . Vamos substituir na equação:

Passo 5

Com isso, a função fica:

Passo 6

Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns pontos:
  • Quando , (já sabemos).
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 7

Além disso, sabemos que a parábola tem concavidade para cima, já que o coeficiente de é positivo. O vértice da parábola pode ser encontrado completando o quadrado ou usando a fórmula :
Substituindo na função:
Então, o vértice é .

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com concavidade para cima, passando pelos pontos (0,0), (1,0), (2,2), (-1,2) e com vértice em .

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Calcule
e)
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