Seja S=a+b i: a, b in Z e b é par . Prove que S é um subanel de Z[i] mas não um ideal de Z[i].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o conjunto é. Precisamos provar que é um subanel de e que não é um ideal de .
Aqui, estamos lidando com estruturas algébricas chamadas anéis e ideais, que são conceitos fundamentais na álgebra abstrata.

Passo 2

Vamos começar mostrando que é um subanel de .
Para isso, precisamos verificar se satisfaz três propriedades:
  1. Fechamento em adição: Se , então .
  2. Fechamento em multiplicação: Se , então .
  3. Contém o anel multiplicativo: O anel original está contido em , o que aqui é implícito pelo fato de .

Passo 3

1. Fechamento em adição:
Seja x + y = (a + c) + (b + d)i e onde e são pares.
Então:
Como e são pares, também é par. Portanto, .

Passo 4

2. Fechamento em multiplicação:
Multiplicando x cdot y = (a + b i)(c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c)i e :
Temos que e são pares. Assim:
  • é par (produto de pares).
  • e também são pares (produto de inteiro com par é par).
Portanto, é par, e o termo imaginário de é par. Logo, .

Passo 5

3. Contém-se no anel multiplicativo:
Como estamos trabalhando dentro de , e é formado por elementos de com a restrição adicional de que o coeficiente de é par, é um subconjunto de .
Assim, satisfaz todas as propriedades de um subanel.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que não é um ideal de .
Para ser um ideal, deve satisfazer que, para qualquer e qualquer , o produto está em .

Passo 7

Vamos considerar um elemento z cdot s = i cdot (1 + 0i) = i (já que é par).
Agora, tomemos , que está em .
Calculando o produto:
Aqui, , e o coeficiente de é , que é ímpar.
Portanto, não está em , já que o coeficiente de não é par.

Resposta

Assim, é um subanel de , mas não é um ideal de .

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