Seja
e
é par
. Prove que
é um subanel de
mas não um ideal de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o conjunto
. Precisamos provar que
é um subanel de
e que
não é um ideal de
.
Aqui, estamos lidando com estruturas algébricas chamadas anéis e ideais, que são conceitos fundamentais na álgebra abstrata.
Passo 2
Vamos começar mostrando que
é um subanel de
.
Para isso, precisamos verificar se
satisfaz três propriedades:
- Fechamento em adição: Se
, então . - Fechamento em multiplicação: Se
, então . - Contém o anel multiplicativo: O anel original
está contido em , o que aqui é implícito pelo fato de .
Passo 3
1. Fechamento em adição:
Seja
e
onde
e
são pares.
Então:
Como
e
são pares,
também é par. Portanto,
.
Passo 4
2. Fechamento em multiplicação:
Multiplicando
e
:
Temos que
e
são pares. Assim:
-
é par (produto de pares). -
e também são pares (produto de inteiro com par é par).
Portanto,
é par, e o termo imaginário de
é par. Logo,
.
Passo 5
3. Contém-se no anel multiplicativo:
Como estamos trabalhando dentro de
, e
é formado por elementos de
com a restrição adicional de que o coeficiente de
é par,
é um subconjunto de
.
Assim,
satisfaz todas as propriedades de um subanel.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que
não é um ideal de
.
Para ser um ideal,
deve satisfazer que, para qualquer
e qualquer
, o produto
está em
.
Passo 7
Vamos considerar um elemento
(já que
é par).
Agora, tomemos
, que está em
.
Calculando o produto:
Aqui,
, e o coeficiente de
é
, que é ímpar.
Portanto,
não está em
, já que o coeficiente de
não é par.
Resposta
Assim,
é um subanel de
, mas não é um ideal de
.
Exercícios relacionados
Esbogar o gráfico e obter uma equação da parábola de modo que o foco seja
e tendo a reta diretriz
.
Seja
o conjunto dos polinômios na variável
com coeficientes em
. Seja
o conjunto formado pelos polinômios com termo constante nulo. Prove que
é um ideal de
e que
.
Encontre uma equação reduzida da hipérbole
determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equaçōes das assíntotas.
Scja
com
Mostre que é um anel.
Mostre que