Encontre a equação da reta que ajusta utilizando o método dos mínimos quadrados. Organize os cálculos para aplicação do método em uma tabela.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Você quer encontrar a equação da reta que melhor ajusta um conjunto de pontos usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estatística e algebra linear, além de organizar nossos cálculos em uma tabela. Preparado? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Imagine que você tem vários pontos no plano e quer desenhar uma reta que passe “o mais pertinho possível” de todos esses pontos. O método dos mínimos quadrados faz isso minimizando a soma dos quadrados das distâncias verticais (erros) entre os pontos e a reta. Isso garante que a reta se ajusta da melhor maneira possível aos dados.

Passo 3

Para aplicar esse método, precisamos organizar nossos dados em uma tabela que facilite os cálculos. Vamos considerar que temos pontos com coordenadas . Nossa tabela terá as seguintes colunas:
  1. : Os valores de x.
  2. : Os valores de y.
  3. : Cada valor de x ao quadrado.
  4. : O produto de cada par e .
Aqui está como a tabela ficaria:
1
2
n
Total

Passo 4

Agora, precisamos calcular as somas de cada coluna:
  • : Soma de todos os valores de .
  • : Soma de todos os valores de .
  • : Soma de todos os .
  • : Soma de todos os .
Essas somas são essenciais para calcular a inclinação e o intercepto da reta.

Passo 5

Com as somas em mãos, podemos usar as seguintes fórmulas para encontrar a inclinação e o intercepto da reta :
Onde:
  • é o número total de pontos.
  • é a soma de todos os produtos .
  • e são as somas de e , respectivamente.
  • é a soma de todos os .

Passo 6

Depois de calcular e usando as fórmulas acima, você substitui esses valores na equação da reta:
Essa será a equação da reta que melhor ajusta os seus dados segundo o método dos mínimos quadrados.

Resposta

A equação da reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados é:
onde
e

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