Encontre a equação da reta que ajusta utilizando o método dos mínimos quadrados. Organize os cálculos para aplicação do método em uma tabela.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Você quer encontrar a equação da reta que melhor ajusta um conjunto de pontos usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estatística e algebra linear, além de organizar nossos cálculos em uma tabela. Preparado? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Imagine que você tem vários pontos no plano e quer desenhar uma reta que passe “o mais pertinho possível” de todos esses pontos. O método dos mínimos quadrados faz isso minimizando a soma dos quadrados das distâncias verticais (erros) entre os pontos e a reta. Isso garante que a reta se ajusta da melhor maneira possível aos dados.
Passo 3
Para aplicar esse método, precisamos organizar nossos dados em uma tabela que facilite os cálculos. Vamos considerar que temos
pontos com coordenadas
. Nossa tabela terá as seguintes colunas:
-
: Os valores de x. -
: Os valores de y. -
: Cada valor de x ao quadrado. -
: O produto de cada par e .
Aqui está como a tabela ficaria:
|
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---|---|---|---|---|
1 |
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|
2 |
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… | … | … | … | … |
n |
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Total |
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Passo 4
Agora, precisamos calcular as somas de cada coluna:
-
: Soma de todos os valores de . -
: Soma de todos os valores de . -
: Soma de todos os . -
: Soma de todos os .
Essas somas são essenciais para calcular a inclinação e o intercepto da reta.
Passo 5
Com as somas em mãos, podemos usar as seguintes fórmulas para encontrar a inclinação
e o intercepto
da reta
:
Onde:
-
é o número total de pontos. -
é a soma de todos os produtos . -
e são as somas de e , respectivamente. -
é a soma de todos os .
Passo 6
Depois de calcular
e
usando as fórmulas acima, você substitui esses valores na equação da reta:
Essa será a equação da reta que melhor ajusta os seus dados segundo o método dos mínimos quadrados.
Resposta
A equação da reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados é:
onde
e
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