Mostre que se w(t)=u(t)+i v(t) é contínua no intervalo a <= t <= b, então
b) seja phi:[alpha, beta] [a, b] uma função diferenciável tal que phi(alpha)=a, phi(beta)=b e phi^prime(tau)>0 então
integrala^b w(t) d t=integralalpha^beta w(phi(tau)) phi^prime(tau) d tau
Dica: Essas expressões podem ser obtidas utilizando as propriedades equivalentes para funções reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complexa que é contínua no intervalo de até . A gente quer mostrar que, se tiver uma outra função que mapeia de para , que é diferenciável, começa em , termina em e tem derivada positiva, então as integrais dessas funções vão ser iguais de um jeito específico. Vamos precisar entender como mudar a variável de integração usando substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a substituição em integrais. Se a gente tem uma integral de uma função de a , e faz uma mudança de variável , então a integral se transforma. Precisamos ajustar os limites e a função dentro da integral. Isso é baseado na regra de substituição, que basicamente reescreve a integral em termos de uma nova variável.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Substituindo por , a gente também precisa multiplicar pela derivada para ajustar o “ajuste de escala” que a mudança de variável causa. Então, a integral de de a se torna a integral de vezes de a .

Passo 4

Mais detalhadamente, os limites de integração mudam porque quando , , e quando , . A condição garante que a função está aumentando, então os limites não se invertem, mantendo a direção da integração.

Passo 5

Resumindo tudo, aplicamos a substituição de variável na integral de , ajustando os limites e multiplicando pela derivada de . Isso mostra que as duas expressões de integrais são equivalentes sob essas condições.

Resposta

Portanto, mostramos que
integrala^b w(t) , dt = integralalpha^beta w(phi(tau)) phi^prime(tau) , d tau

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