Mostre que se
é contínua no intervalo
, então
b) seja
uma função diferenciável tal que
e
então
Dica: Essas expressões podem ser obtidas utilizando as propriedades equivalentes para funções reais.
b) seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complexa
que é contínua no intervalo de
até
. A gente quer mostrar que, se tiver uma outra função
que mapeia de
para
, que é diferenciável, começa em
, termina em
e tem derivada positiva, então as integrais dessas funções vão ser iguais de um jeito específico. Vamos precisar entender como mudar a variável de integração usando substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a substituição em integrais. Se a gente tem uma integral de uma função
de
a
, e faz uma mudança de variável
, então a integral se transforma. Precisamos ajustar os limites e a função dentro da integral. Isso é baseado na regra de substituição, que basicamente reescreve a integral em termos de uma nova variável.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Substituindo
por
, a gente também precisa multiplicar pela derivada
para ajustar o “ajuste de escala” que a mudança de variável causa. Então, a integral de
de
a
se torna a integral de
vezes
de
a
.
Passo 4
Mais detalhadamente, os limites de integração mudam porque quando
,
, e quando
,
. A condição
garante que a função
está aumentando, então os limites não se invertem, mantendo a direção da integração.
Passo 5
Resumindo tudo, aplicamos a substituição de variável na integral de
, ajustando os limites e multiplicando pela derivada de
. Isso mostra que as duas expressões de integrais são equivalentes sob essas condições.
Resposta
Portanto, mostramos que
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, então
quando
.