O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
b) Pela definição de integrais de funções de variável real a valores complexos, sabemos que
Utilize o resultado da parte (
) para concluir quais são os valores das integrais que aparecem à direita na equação acima.
b) Pela definição de integrais de funções de variável real a valores complexos, sabemos que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que quer mostrar como calcular algumas integrais reais usando integrais com números complexos. Na parte (b) do problema, a gente tem essa expressão:
Então, o que a gente precisa fazer aqui é usar o resultado que já obtivemos na parte (a) para descobrir os valores das duas integrais que aparecem do lado direito dessa equação. Ou seja, queremos encontrar:
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que fizemos na parte (a). Lá, calculamos a integral complexa:
Para resolver isso, usamos a fórmula básica da integral de uma função exponencial. Lembrando que, para qualquer número complexo
, a integral de
é:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos lidar com o termo
. Podemos separar o expoente em duas partes:
Sabemos que
(a famosa fórmula de Euler). Então:
Substituindo de volta na expressão da integral:
Passo 4
Agora, para simplificar essa fração complexa, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Assim:
O denominador agora fica:
Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a expressão completa da integral original, que estava dividida em parte real e imaginária:
Como duas expressões complexas são iguais, isso significa que suas partes reais e imaginárias também são iguais. Ou seja:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Resposta
As integrais solicitadas são:
e
Exercícios relacionados
O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
a) Calcule a integral
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.
Mostre que se
e
são inteiros então
e
Encontre a equação da reta que ajusta utilizando o método dos mínimos quadrados. Organize os cálculos para aplicação do método em uma tabela.
Mostre que se
é contínua no intervalo
, então
b) seja uma função diferenciável tal que
e
então
b) seja
Dica: Essas expressões podem ser obtidas utilizando as propriedades equivalentes para funções reais.