O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
b) Pela definição de integrais de funções de variável real a valores complexos, sabemos que
Utilize o resultado da parte ( ) para concluir quais são os valores das integrais que aparecem à direita na equação acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que quer mostrar como calcular algumas integrais reais usando integrais com números complexos. Na parte (b) do problema, a gente tem essa expressão:
Então, o que a gente precisa fazer aqui é usar o resultado que já obtivemos na parte (a) para descobrir os valores das duas integrais que aparecem do lado direito dessa equação. Ou seja, queremos encontrar:

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que fizemos na parte (a). Lá, calculamos a integral complexa:
Para resolver isso, usamos a fórmula básica da integral de uma função exponencial. Lembrando que, para qualquer número complexo , a integral de é:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos lidar com o termo . Podemos separar o expoente em duas partes:
Sabemos que (a famosa fórmula de Euler). Então:
Substituindo de volta na expressão da integral:

Passo 4

Agora, para simplificar essa fração complexa, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é . Assim:
O denominador agora fica:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a expressão completa da integral original, que estava dividida em parte real e imaginária:
Como duas expressões complexas são iguais, isso significa que suas partes reais e imaginárias também são iguais. Ou seja:
  1. Parte real:
  1. Parte imaginária:

Resposta

As integrais solicitadas são:
e

Exercícios relacionados

O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.
Mostre que se e são inteiros então
e
Encontre a equação da reta que ajusta utilizando o método dos mínimos quadrados. Organize os cálculos para aplicação do método em uma tabela.
Mostre que se é contínua no intervalo , então
b) seja uma função diferenciável tal que e então
Dica: Essas expressões podem ser obtidas utilizando as propriedades equivalentes para funções reais.