O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
b) Pela definição de integrais de funções de variável real a valores complexos, sabemos que
integral0^pi e^(1+i) x d x=integral0^pi e^x cos x d x+i integral0^pi e^x sen x d x
Utilize o resultado da parte ( a ) para concluir quais são os valores das integrais que aparecem à direita na equação acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que quer mostrar como calcular algumas integrais reais usando integrais com números complexos. Na parte (b) do problema, a gente tem essa expressão:
integral0^pi e^(1+i) x , dx = integral0^pi e^x cos x , dx + i integral0^pi e^x sin x , dx
Então, o que a gente precisa fazer aqui é usar o resultado que já obtivemos na parte (a) para descobrir os valores das duas integrais que aparecem do lado direito dessa equação. Ou seja, queremos encontrar:
  1. integral0^pi e^x cos x , dx
  2. integral0^pi e^x sin x , dx

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que fizemos na parte (a). Lá, calculamos a integral complexa:
integral0^pi e^(1+i) x , dx
Para resolver isso, usamos a fórmula básica da integral de uma função exponencial. Lembrando que, para qualquer número complexo k, a integral de e^k x é:
integral e^k x , dx = e^k xk + C
Aplicando isso na nossa integral:
integral0^pi e^(1+i) x , dx = [ e^(1+i) x1+i ]0^pi = e^(1+i)pi - 11+i

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos lidar com o termo e^(1+i)pi. Podemos separar o expoente em duas partes:
e^(1+i)pi = e^pi cdot e^i pi
Sabemos que e^i pi = -1 (a famosa fórmula de Euler). Então:
e^(1+i)pi = e^pi cdot (-1) = -e^pi
Substituindo de volta na expressão da integral:
e^(1+i)pi - 11+i = -e^pi - 11+i

Passo 4

Agora, para simplificar essa fração complexa, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1+i é 1-i. Assim:
-e^pi - 11+i cdot 1-i1-i = (-e^pi - 1)(1 - i)(1+i)(1-i)
O denominador agora fica:
(1+i)(1-i) = 1^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2
Então, a expressão simplifica para:
(-e^pi - 1)(1 - i)2 = (-e^pi - 1)(1) - (-e^pi - 1)i2 = -e^pi - 12 + i cdot e^pi + 12

Passo 5

Agora, vamos reescrever a expressão completa da integral original, que estava dividida em parte real e imaginária:
integral0^pi e^x cos x , dx + i integral0^pi e^x sin x , dx = -e^pi - 12 + i cdot e^pi + 12
Como duas expressões complexas são iguais, isso significa que suas partes reais e imaginárias também são iguais. Ou seja:
  1. Parte real:
integral0^pi e^x cos x , dx = -e^pi - 12
  1. Parte imaginária:
integral0^pi e^x sin x , dx = e^pi + 12

Resposta

As integrais solicitadas são:
integral0^pi e^x cos x , dx = -e^pi - 12
e
integral0^pi e^x sin x , dx = e^pi + 12

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