(1,0 ponto cada) Dada a aplicação
d) Té um isomorfismo? Justifique
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a aplicação , definida por , é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares e isomorfismos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é chamada de isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, tanto injeção quanto sobremetido. Isso significa que cada elemento do espaço de saída tem exatamente um correspondente no espaço de entrada.
Passo 3
Para verificar se é um isomorfismo, podemos analisar a matriz associada a essa transformação. A matriz de será:
Passo 4
Uma transformação linear é isomorfa se e somente se a sua matriz associada for inversível. Uma matriz é inversível quando o seu determinante é diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
Como o determinante de é zero (), isso significa que a matriz não é inversível. Consequentemente, a transformação linear não é isomorfismo, pois não satisfaz a condição de ser bijetora.
Resposta
Não, a aplicação não é um isomorfismo porque a matriz associada a não é inversível, já que seu determinante é zero.