Seja
uma função tal que
. Sabendo-se que
, calcule
. Deduza que se
é derivável em
então
é derivável em qualquer
e vale a fórmula
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
que satisfaz a relação
para todo
reais. A matéria envolvida aqui é funções funcionais, especialmente aquelas que se comportam de maneira exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando combinamos seus argumentos e usar propriedades básicas de funções e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para isso, vamos substituir
na relação dada:
Isso simplifica para:
Agora, queremos encontrar
. Podemos rearranjar a equação:
Como
(segundo o enunciado) e
não é necessariamente zero para todo
, a única maneira dessa equação ser verdadeira é se:
Passo 3
Agora que sabemos que
, vamos deduzir que se
é derivável em
, então
é derivável em qualquer
. Para isso, vamos usar a definição de derivada e a relação funcional dada.
A derivada de
em
é:
Usando a relação
, substituímos na expressão da derivada:
Note que
é justamente a definição da derivada de
em
, ou seja,
. Portanto:
Isso mostra que se
é derivável em
, então ela é derivável em qualquer
e a derivada segue a relação acima.
Resposta
Exercícios relacionados
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Encontre a equação da reta normal ao gráfico de
que é paralela à reta
.
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;