Seja f: R -> R uma função tal que f(x+h) = f(x) f(h), x, h in R. Sabendo-se que f(0) != 0, calcule f(0). Deduza que se f é derivável em x0 = 0 então f é derivável em qualquer x_0 e vale a fórmula f'(x0) = f(x0) f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que satisfaz a relação para todo reais. A matéria envolvida aqui é funções funcionais, especialmente aquelas que se comportam de maneira exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando combinamos seus argumentos e usar propriedades básicas de funções e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Para isso, vamos substituir na relação dada:
Isso simplifica para:
Agora, queremos encontrar . Podemos rearranjar a equação:
Como (segundo o enunciado) e não é necessariamente zero para todo , a única maneira dessa equação ser verdadeira é se:

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos deduzir que se é derivável em , então é derivável em qualquer . Para isso, vamos usar a definição de derivada e a relação funcional dada.
A derivada de em é:
Usando a relação , substituímos na expressão da derivada:
Note que é justamente a definição da derivada de em , ou seja, . Portanto:
Isso mostra que se é derivável em , então ela é derivável em qualquer e a derivada segue a relação acima.

Resposta

e, se é derivável em , então é derivável em qualquer e .

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