Seja
. Calcule sen
nos casos (a) e (b), e
nos casos © e (d):
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, temos que calcular o cosseno do ângulo
entre as retas
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de vetores e ângulos entre vetores. Precisamos encontrar os vetores diretores das retas e depois aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta
. A equação da reta
está na forma
. Isso significa que podemos parametrizar a reta para encontrar os coeficientes que formam o vetor diretor.
Passo 3
Vamos parametrizar a reta
. Seja um parâmetro
, então:
Resolvendo para
e
:
Então, o vetor diretor da reta
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. A reta
está definida por um sistema de equações:
Para encontrar o vetor diretor, precisamos resolver o sistema e parametrizar a reta.
Passo 5
Vamos resolver o sistema para expressar duas das variáveis em função de uma terceira. Vamos resolver para
e
em termos de
.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo
de volta em
:
Então, parametrizando com
, temos:
O vetor diretor da reta
é
.
Passo 6
Com os vetores diretores
e
, vamos aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Calculamos o produto escalar e as normas dos vetores:
Então:
Resposta
O cosseno do ângulo
entre as retas
e
é
.