Seja theta=ang(r, s). Calcule sen theta nos casos (a) e (b), e cos theta nos casos © e (d):
(d) r: x=1-y2=z3 s:l3 x+y-5 z=0 x-2 y+3 z=-1

Passo 1

Beleza, temos que calcular o cosseno do ângulo theta entre as retas r e s. Para isso, vamos usar o conteúdo de vetores e ângulos entre vetores. Precisamos encontrar os vetores diretores das retas e depois aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta r. A equação da reta r está na forma x = 1 - y2 = z3. Isso significa que podemos parametrizar a reta para encontrar os coeficientes que formam o vetor diretor.

Passo 3

Vamos parametrizar a reta r. Seja um parâmetro t, então:
x = 1 - y2 = z3 = t
Resolvendo para y e z:
y = 1 - 2t e z = 3t
Então, o vetor diretor da reta r é u = (2, -1, 3).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta s. A reta s está definida por um sistema de equações:
3x + y - 5z = 0 x - 2y + 3z = -1
Para encontrar o vetor diretor, precisamos resolver o sistema e parametrizar a reta.

Passo 5

Vamos resolver o sistema para expressar duas das variáveis em função de uma terceira. Vamos resolver para x e y em termos de z.
Da segunda equação:
x = -1 + 2y - 3z
Substituindo na primeira equação:
3(-1 + 2y - 3z) + y - 5z = 0 -3 + 6y - 9z + y - 5z = 0 7y - 14z = 3 y = 2z + 37
Substituindo y de volta em x:
x = -1 + 2(2z + 37) - 3z = -1 + 4z + 67 - 3z = z - 17
Então, parametrizando com t = z, temos:
x = t - 17, y = 2t + 37, z = t
O vetor diretor da reta s é v = (1, 2, 1).

Passo 6

Com os vetores diretores u = (2, -1, 3) e v = (1, 2, 1), vamos aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = u cdot v||u|| cdot ||v||
Calculamos o produto escalar e as normas dos vetores:
u cdot v = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(1) = 2 - 2 + 3 = 3
||u|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
||v|| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Então:
cos theta = 3raiz14 cdot raiz6 = 3raiz84 = 32raiz21 = 3raiz2142 = raiz2114

Resposta

O cosseno do ângulo theta entre as retas r e s é cos theta = dfracraiz2114.

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