Encontre a equação da reta que passa pelos pontos , chame-a de . Ache, também, a inversa . Por fim, mostre as funções :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, que são e . Depois, vamos achar a função inversa dessa reta e, por último, mostrar as composições dessas funções. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação da reta e função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e . Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular (m) da reta, que representa a inclinação dela.
A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos e é:
Aplicando os valores dados:

Passo 3

Agora que temos o coeficiente angular , podemos usar a equação geral da reta na forma ponto-inclinação:
Vamos usar um dos pontos, por exemplo, :
Distribuindo a fração:
Agora, isolamos o :
Convertendo 4 para a mesma fração:
Portanto, a equação da reta é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função inversa . A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Para encontrar a inversa, seguimos alguns passos:
  1. Começamos trocando por :
  1. Troque e :
  1. Agora, isolamos para encontrar a inversa:
Primeiro, subtrai de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Então, a função inversa é:

Passo 5

Por fim, vamos mostrar as composições das funções e . A composição de funções significa aplicar uma função dentro da outra.
Primeiro, vamos calcular , que significa .
Substituímos na função :
Distribuindo:
Então, .
Agora, vamos calcular , que significa .
Substituímos na função :
Distribuindo:
Então, .

Resposta

A equação da reta é , a função inversa é e as composições das funções são e .

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