Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (5,4) ; (-3,-2), chame-a de f(x). Ache, também, a inversa f^-1(x) = g(x). Por fim, mostre as funções f o g, g o f :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, que são (5,4) e (-3, -2). Depois, vamos achar a função inversa dessa reta e, por último, mostrar as composições dessas funções. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação da reta e função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (5,4) e (-3, -2). Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular (m) da reta, que representa a inclinação dela.
A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos e é:
Aplicando os valores dados:

Passo 3

Agora que temos o coeficiente angular , podemos usar a equação geral da reta na forma ponto-inclinação:
Vamos usar um dos pontos, por exemplo, (5,4):
Distribuindo a fração:
Agora, isolamos o y:
Convertendo 4 para a mesma fração:
Portanto, a equação da reta é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função inversa . A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Para encontrar a inversa, seguimos alguns passos:
  1. Começamos trocando f(x) por y:
  1. Troque x e y:
  1. Agora, isolamos y para encontrar a inversa:
Primeiro, subtrai 1/4 de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por 4/3 para isolar y:
Então, a função inversa é:

Passo 5

Por fim, vamos mostrar as composições das funções f(g) e g(f). A composição de funções significa aplicar uma função dentro da outra.
Primeiro, vamos calcular f(g), que significa f(g(x)).
Substituímos g(x) na função f:
Distribuindo:
Então, .
Agora, vamos calcular g(f), que significa g(f(x)).
Substituímos f(x) na função g:
Distribuindo:
Então, .

Resposta

A equação da reta é , a função inversa é e as composições das funções são e .

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