Encontre a equação da reta tangente à curva:
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada por
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente e, assim, construir a equação dessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está na curva. Substituindo
e
na equação:
Como a igualdade se confirma, o ponto está na curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada implícita para obter a inclinação da reta tangente. A derivada implícita nos permite encontrar
sem isolar uma das variáveis.
Derivando ambos os lados da equação
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores do ponto
na derivada para encontrar a inclinação
:
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para a forma
:
Somando
aos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente é:
Exercícios relacionados
Encontre
pela derivação implícita de:
Encontre
pela derivação implícita de:
Encontre a derivada das funções:
Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada das funções: