Encontre a equação da reta tangente à curva:
x^2/16 - y^2/9 = 1
no ponto (-5, 9/4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente e, assim, construir a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na curva. Substituindo e na equação:
Como a igualdade se confirma, o ponto está na curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada implícita para obter a inclinação da reta tangente. A derivada implícita nos permite encontrar sem isolar uma das variáveis.
Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Isolando :

Passo 5

Agora, substituímos os valores do ponto na derivada para encontrar a inclinação :

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a equação para a forma :
Somando aos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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