Encontre os pontos da curva , tais que suas retas tangentes são perpendiculares à reta .

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar os pontos da curva para os quais as retas tangentes são perpendiculares à reta . Para isso, vamos precisar de conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e entender as condições de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a direção da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de é .

Passo 3

A inclinação da reta tangente é a razão entre as componentes da derivada, ou seja:

Passo 4

Agora, vamos determinar a inclinação da reta dada . Para isso, vamos reescrever a equação na forma :
Portanto, a inclinação dessa reta é .

Passo 5

Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for igual a . Assim, temos a condição:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, substituímos os valores de na função para encontrar os pontos correspondentes:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos da curva cujas retas tangentes são perpendiculares à reta são e .

Exercícios relacionados

Dê uma parametrização para as seguintes curvas: o segmento de reta que liga os pontos e
Esboçe o traço das curvas abaixo: .
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta .
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .