Encontre os pontos da curva
, tais que suas retas tangentes são perpendiculares à reta
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar os pontos da curva
para os quais as retas tangentes são perpendiculares à reta
. Para isso, vamos precisar de conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e entender as condições de perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a direção da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de
é
.
Passo 3
A inclinação da reta tangente é a razão entre as componentes da derivada, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos determinar a inclinação da reta dada
. Para isso, vamos reescrever a equação na forma
:
Portanto, a inclinação dessa reta é
.
Passo 5
Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for igual a
. Assim, temos a condição:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores de
na função
para encontrar os pontos correspondentes:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos da curva
cujas retas tangentes são perpendiculares à reta
são
e
.
Exercícios relacionados
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: o segmento de reta que liga os pontos
e
Esboçe o traço das curvas abaixo:
.
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta
.
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado:
.