Encontre os pontos da curva gamma(t) = (6t + 1, t^3 - 2t), t em R, tais que suas retas tangentes são perpendiculares à reta 3x + 5y - 8 = 0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar os pontos da curva para os quais as retas tangentes são perpendiculares à reta . Para isso, vamos precisar de conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e entender as condições de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função gamma(t), que nos dará a direção da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de gamma(t) é .

Passo 3

A inclinação da reta tangente é a razão entre as componentes da derivada, ou seja:

Passo 4

Agora, vamos determinar a inclinação da reta dada . Para isso, vamos reescrever a equação na forma :
Portanto, a inclinação dessa reta é .

Passo 5

Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for igual a -1. Assim, temos a condição:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de t:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, substituímos os valores de t na função gamma(t) para encontrar os pontos correspondentes:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos da curva gamma(t) cujas retas tangentes são perpendiculares à reta são e .

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