Obtenha uma equação geral do plano que contém forma um ângulo com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que contém a reta e que forma um ângulo com o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial envolvendo planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a reta r. A equação nos mostra que a reta está parametrizada de forma que podemos expressar em termos de um parâmetro . Vamos reescrever:
Isso nos dá um vetor diretor da reta , que é .
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal do plano . A equação do plano é , então o vetor normal é .
Passo 4
Queremos encontrar um plano que contenha a reta e forme um ângulo de com o plano . O ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Então, precisamos que o ângulo entre o vetor normal do nosso plano desconhecido e seja .
Passo 5
Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Sabemos que . Então:
Passo 6
Além disso, como o plano contém a reta , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Portanto:
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema com as duas condições que temos. Seja . Então:
Simplificando a segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Passo 8
Expandindo o lado esquerdo:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Reorganizando:
Passo 9
Agora, temos um sistema de equações para :
Para simplificar, podemos assumir um valor para um dos parâmetros e resolver os outros. Vamos supor .
Então, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo e resolvendo essa equação para e , encontramos os valores que satisfazem ambas as equações. Após resolver, encontramos a relação entre .
Passo 10
Após resolver o sistema, vamos obter o vetor normal . Com ele em mãos, podemos escrever a equação do plano em forma geral:
Para encontrar , usamos um ponto da reta . Por exemplo, quando :
Substituindo na equação do plano:
Resposta
A equação geral do plano que contém a reta e forma um ângulo de com o plano é: