Obtenha uma equação geral do plano que contém forma um ângulo com o plano .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que contém a reta e que forma um ângulo com o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial envolvendo planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta r. A equação nos mostra que a reta está parametrizada de forma que podemos expressar em termos de um parâmetro . Vamos reescrever:
Isso nos dá um vetor diretor da reta , que é .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do plano . A equação do plano é , então o vetor normal é .

Passo 4

Queremos encontrar um plano que contenha a reta e forme um ângulo de com o plano . O ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Então, precisamos que o ângulo entre o vetor normal do nosso plano desconhecido e seja .

Passo 5

Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Sabemos que . Então:

Passo 6

Além disso, como o plano contém a reta , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Portanto:

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema com as duas condições que temos. Seja . Então:
Simplificando a segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:

Passo 8

Expandindo o lado esquerdo:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Reorganizando:

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações para :
Para simplificar, podemos assumir um valor para um dos parâmetros e resolver os outros. Vamos supor .
Então, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo e resolvendo essa equação para e , encontramos os valores que satisfazem ambas as equações. Após resolver, encontramos a relação entre .

Passo 10

Após resolver o sistema, vamos obter o vetor normal . Com ele em mãos, podemos escrever a equação do plano em forma geral:
Para encontrar , usamos um ponto da reta . Por exemplo, quando :
Substituindo na equação do plano:

Resposta

A equação geral do plano que contém a reta e forma um ângulo de com o plano é:

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Resolva as equações transformando-as em equações diferenciais separáveis através das seguintes substituições:
após resolver na variável retorne para as variáveis originais.
Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta normal.
Obtenha a medida angular em radianos entre a reta o plano .
Encontre a derivada indicada.
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