Resolva as equações transformando-as em equações diferenciais separáveis através das seguintes substituições:
y/x = v(x) d/dx y = v + x d/dx v
após resolver na variável v retorne para as variáveis originais.
d y/d x = (x^2 + x y + y^2) / x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que envolve derivadas de em relação a . Nosso objetivo é transformar essa equação em uma equação diferencial separável usando a substituição . Para isso, vamos precisar usar cálculos de derivadas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada em termos de e .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar .

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, subtraímos de ambos os lados para isolar o termo com :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais resultam em:

Passo 7

Agora, substituímos de volta:
Para isolar , podemos aplicar a tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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