Resolva as equações transformando-as em equações diferenciais separáveis através das seguintes substituições:
após resolver na variável
retorne para as variáveis originais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que envolve derivadas de
em relação a
. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma equação diferencial separável usando a substituição
. Para isso, vamos precisar usar cálculos de derivadas e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada
em termos de
e
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, subtraímos
de ambos os lados para isolar o termo com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais resultam em:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta:
Para isolar
, podemos aplicar a tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta normal.
Sejam
e
a função dada por
Analise cada uma das afirmações abaixo, diga se são verdadeiras ou falsas e justifique:
a) é injetiva
b) é sobrejetiva.
c) , para todo
.
d) , para todo
.
a)
b)
c)
d)
Obtenha uma equação geral do plano que contém
forma um ângulo
com o plano
.
Obtenha a medida angular em radianos entre a reta
o plano
.