Use o Teorema da de Green para calcular o trabalho realizado pela força ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo para um seguida ao longo de um segmento de reta até e por fim volta a origem pelo eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular o trabalho feito por uma força ao mover uma partícula ao longo de um caminho específico. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green na conversão de uma integral de linha em uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula é:
Aqui, .
Passo 3
Identificando e na nossa força:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo:
Passo 4
Agora, precisamos identificar a região limitada pelo caminho . O percurso é:
Da origem até ao longo do eixo .
De até em linha reta.
De de volta à origem pelo eixo multiplicado por .
Parece que há uma pequena confusão na última parte, mas vamos considerar que o caminho retorna ao longo do eixo de a .
Passo 5
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos parametrizar a região . Observando o caminho, é um triângulo com vértices em , e .
Vamos configurar os limites da integral dupla. Para variando de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até .
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla usando o Teorema de Green:
Vamos calcular essa integral:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1:
Calculando termo a termo:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao longo do percurso descrito é .