Use o Teorema da de Green para calcular o trabalho realizado pela força F(x, y) = x(x+y) i + x y^2 j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para 1,0 em um seguida ao longo de um segmento de reta até 0,1 e por fim volta a origem pelo eixo y * -1/12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular o trabalho feito por uma força ao mover uma partícula ao longo de um caminho específico. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green na conversão de uma integral de linha em uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula é:
Aqui, .

Passo 3

Identificando e na nossa força:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo:

Passo 4

Agora, precisamos identificar a região limitada pelo caminho . O percurso é:
  1. Da origem até ao longo do eixo .
  2. De até em linha reta.
  3. De de volta à origem pelo eixo multiplicado por .
Parece que há uma pequena confusão na última parte, mas vamos considerar que o caminho retorna ao longo do eixo de a .

Passo 5

Para aplicar o Teorema de Green, precisamos parametrizar a região . Observando o caminho, é um triângulo com vértices em , e .
Vamos configurar os limites da integral dupla. Para variando de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até .

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla usando o Teorema de Green:
Vamos calcular essa integral:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1:
Calculando termo a termo:

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo do percurso descrito é .

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