Esboce a curva que é traço de

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar a curva que é o traço da função vetorial . Isso significa que vamos desenhar o gráfico dessa função no plano cartesiano, mostrando como os pontos se comportam conforme varia. Para resolver isso, vamos precisar entender equações paramétricas e como eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas componentes da função :
Aqui, está relacionado ao cosseno de ao quadrado, e é simplesmente o cosseno de .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para obter uma equação que relacione e diretamente, sem depender de . Observando que , podemos reescrever em termos de :
Então, a relação entre e é:

Passo 4

Agora que temos a equação , podemos analisar que tipo de curva isso representa. Essa é a equação de uma parábola que abre para a direita no plano cartesiano. Isso significa que, ao esboçarmos a curva, ela terá a forma de uma parábola onde o eixo de simetria é o eixo , e o vértice está na origem .

Passo 5

Para ter certeza de como a curva se comporta, podemos escolher alguns valores de e calcular os correspondentes pontos :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Esses pontos confirmam que a curva é simétrica em relação ao eixo e forma uma parábola.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar a curva. Traçamos uma parábola com o vértice na origem e abrindo para a direita, passando pelos pontos e .

Resposta

A curva traço de é uma parábola definida pela equação , com vértice na origem e abrindo para a direita.

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