Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. .
(2,3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto específico (2, 3). Vamos usar conceitos de derivadas para isso, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma curva em um ponto é aquela que “encosta” na curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele instante. Ou seja, a inclinação da reta tangente é igual à derivada da função no ponto considerado.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto (2, 3), precisamos calcular a derivada da função . Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Passo 4
Agora, vamos derivar usando a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
Simplificando:
Passo 5
Vamos substituir na derivada para encontrar a inclinação no ponto dado:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 6
Agora que temos a inclinação (m = 2) e um ponto pela qual a reta passa (2, 3), podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Distribuindo o 2:
Somando 3 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (2, 3) é .