Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. A curva que vamos analisar é e o ponto de interesse é (4, 32). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. Usamos a regra do poder para derivar:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos 4 na derivada:
Para resolver , pensamos da seguinte forma: raiz quadrada de 4 é 2, e . Então:

Passo 4

Com a inclinação e o ponto de tangência (4, 32), usamos a fórmula da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (4, 32) é .

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Encontre .
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;
Mostre que .
A função se e se . Determine o valor de de modo que seja contínua.